3. Определяем из условия прочности диаметр вала.

= ≤ → ≥ ;

= → d = ≈73мм.

4. Определяем из условия жесткости диаметр вала

= ≤ → Jp ≥ = =1458125

Jp = → d = = = 62мм

5. Окончательно принимаем диаметр вала d=75 мм.

4. Задания для самостоятельного решения

Задача №1

Для заданных брусьев, построить эпюру крутящих моментов и определить опасное сечение.

Ответ: Mz max a) 2m; б) 4m; в) 4m; д) 18кНМ; е) 45кНМ

Задача №2

Определить отношение диаметров и масс двух валов одинаковой прочности и длины, передающих одинаковую мощность, если один вал вращается n 1 =800мин -1 , другой с n 2 =1200мин -1 .

Ответ: d 1:d 2 =1,15; m 1:m 2 =1,31

Задача №3

Стальной вал вращается с частотой вращения n=980мин -1 и передает мощность Р=40кВт. Определить требуемый диаметр вала, если допускаемое касательное напряжение [τ к ]=25МПа

Ответ: d=43мм.

Задача №4

Стальной брус кольцевого поперечного сечения (d=100мм и d 0 =80мм) длиной 3М закручен на угол 3 0 . Вычислить наибольшие касательные напряжения, возникающие в брусе.

Ответ: τ max =70МПа

Задача №5

Стальной вал d=60мм имеет частоту вращения n=900мин -1 . Определить допускаемое значение передаваемой мощности, если [φ 0 ]=0,5

Ответ: [Р]=83,4кВт

Задача №6

Проверить прочность и жесткость стальных брусьев, если [τ к ]=40МПа; [φ 0 ]=0,6

Ответ: а) τ max =68,4МПа; φ 0 max =1,63 ;

б) τ max =27,6 МПа; φ 0 max =0,4 .

Задача №7

Определить требуемые размеры поперечного сечения бруса, если предел текучести τ m =140 МПа, а требуемый коэффициент запаса прочности [n]=2,5

Ответ: d=65мм

Задача №8

Вал передает момент М=10кНМ

Подобрать размеры поперечного сечения вала для 2 x случаев: а) сплошного кругового сечения; б) кольца при d 1 = Д.

Сравнить сечения с точки зрения экономии материала.

Допускаемое касательное напряжение [τ к ]=60МПа.

Ответ: d=94мм; Д=127мм; d 1 =111мм; ≈ 2,35.

Список литературы

1. Ицкович Г.М. «Сопротивление материалов» М.: Высшая школа, 2005.

2. Аркуша А.И. «Техническая механика», «Теоретическая механика и сопротивление материалов». М.: Высшая школа., 2002

3. Вереина Л.М, Краснов М.М. «Техническая механика» М.: Академия., 2008

Сплошные линии соответствуют положительным значениям w, а пунктирные – отрицательным, по правилу знаков. §1.3 Мембранная аналогия Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кручения стержней различных сечений, часто встречающихся в...

Будут соответственно обозначать диаметр болтов и допускаемое напряжение материала болтов на сдвиг (срез). ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при...

Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.

На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .

М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.

Решение

Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).

Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.

Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.

Для участка с кольцевым сечением:

Для вала сплошного поперечного сечения

Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:

d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.

Наибольшее действующее на этих участках напряжение:

Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).

2.4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении.

Имея формулы для определения деформаций и зная условия закрепления стержня, нетрудно определить угловые перемещения сечений стержня и построить эпюры этих перемещений. Если имеется вал (т.е. вращающийся стержень), у которого нет неподвижных сечений, то для построения эпюры угловых перемещений принимают какое-либо сечение за условно неподвижное.

Рассмотрим конкретный пример (рис. 2.12, а). На рис. 2.12, б дана эпюра Тк .

Примем сечение в точке А за условно неподвижное. Определим поворот сечения В по отношению к сечению А.

Где ТАВ - крутящий момент на участке АВ; lАВ - длина участка АВ.

Примем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справа налево) против часовой стрелки. В данном случае будет положительным. В принятом масштабе отложим ординату (рис. 2.12, в). Полученную точку К соединяем прямой точкой Е, так как на участке АВ углы изменяются по закону прямой линии . Вычислим теперь угол поворота сечения С по отношению к сечению В. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем

Так как сечение В не неподвижное, то угол поворота сечения С по отношению к сечению А равен

Угол закручивания может получиться положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

Предположим, что в данном случае угол получился положительным. Тогда, отложив эту величину в принятом масштабе вверх от эпюры, получим точку М. Соединяя точку М с точкой К, получим графмк углов закручивания на участке ВС. На участке CD скручивания не происходит, так как крутящие моменты на этом участке равны нулю, поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачивается сечение С. Участок MN эпюры здесь горизонтален. Читателю предлагается убедиться, что если принять за неподвижное сечение В, то эпюра углов закручивания будет иметь вид, представленный на рис. 2.12, г.

Пример 2.1. Определить диаметр стального вала, вращающегося с угловой скоростью W = 100 рад/с и передающего мощность N = 100 кВт. Допускаемо напряжение = 40 МПа, допускаемый угол закручивания = 0,5 град/м, G = 80000 МПа.

Решение. Момент передаваемый валом, определяется по формуле

T = N/W = 100 000 / 100 = 1000 Н * м

Крутящий момент во всех поперечных сечениях вала одинаков

Tк = Т = 1000 Н * м = 1 кН * м = 0,001 МН * м.

Диаметр вала по прочности определяем по формуле (2.15)

По формуле (2.24) определяем диаметр вала из условия жесткости

Диаметр вала в данном случае определяется из условия жесткости и должен быть принят равным d = 52 мм.

Пример 2.2. Подобрать размеры сечения трубчатого вала, передающего момент Т = 6 кН * м, при соотношении диаметров с = d/D = 0,8 и допускаемом напряжении = 60 МПа. Сравнить вес этого трубчатого вала с валом равной прочности сплошного сечения.

Ответ. Размеры трубчатого вала: D = 9,52 см, d = 7,62 см. Плошадь сечения Ат = 25,9 квадратных см. Диаметр вала сплошного сечения d1 = 8 см. Площадь сечения Ас = 50,2 квадратных см. Масса трубчатого вала составляет 51% от массы сплошного вала.

Задание 4

Для стального вала постоянного поперечного сечения

1. Определить значение моментов М 1 , М 2, М 3 , М 4 ;

2. Построить эпюру крутящих моментов;

3. Определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, приняв поперечное сечение вала - круг

Р 1 = 50 кВт

Р 3 = 15 кВт

Р 4 = 25 кВт

w = 18 рад/сек

w = n = = 30*18/3.14 = 172 об/мин

[ц 0 ] =0,02 рад/м - угол закручивания

G = 8*10 4 Мпа

Определяем внешние моменты:

М 1 = 9550 = 9550 = 2776 Hм = 2,8 кНм;

М 3 = 9550 = 9550 = 832,8 Hм = 0,83 кНм;

М 4 = 9550 = 9550 = 1388 Hм = 1,4 кНм;

Запишем уравнение статики:

УМ = М 1 + М 3 - М 2 + М 4 = 0

И из него найдем величину момента М 2:

М 2 = М 3 + М 1 + М 4 = 832,8 +2776 +1388 = 4996,8 Hм = 5 кНм;

Прежде всего строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т 1 = -М 1 = -2,8кНм;

Т 2 = -М 1 - М 3 = -2,8 - 0,83 = - 3,63 кНм;

Т 3 = -М 1 - М 3 + М 2 = -3,63 + 5 = 1,37 кНм.

Строим эпюры:

Вал разбивается на три участка I, II, III.

Находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности:

W p = = = 121 10 -6 м 3 = 121 см 3

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы:

W p 0.2d c 3 = 121 cм 3 ,

d c 3 = = 8.46 см 9 см = 90 мм.

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т.е. с использованием формулы

d жест1 = = 0,1 м = 100 мм

d жест2 = = 0,1068 м = 107 мм

d жест1 = = 0,0837 м = 84 мм

В качестве окончательных следует выбрать наибольшие значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательный размер диаметра вала таков: d 1 = 107 мм.

Из стандартного ряда: d 1 = 120 мм

Задание 5

На вал жестко насажены шкив и колесо,

Определить силы F 2 .F 2r = 0.4 F 1 если значение силы F 1 задано

Представим физическую систему:

Задачу решаем в следующей последовательности:

1. изображаем на рисунке тело, равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными и реактивными силами и выбираем систему осей координат;

2. из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось, определяем значения сил F 2 , F r2 ;

3. составляем шесть уравнений равновесия;

4. решаем уравнения и определяем реакции опор;

5. проверяем правильность решения задачи.

1. Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат

Рассмотрим систему сил, действующую в системе

Определяем составляющие нагрузки со стороны шкива

Р 1 = (2F 1 + F 1) = 3 F 1 = 3*280 = 840 Н = 0.84 кН

2. Определяем F2 и Fr2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

F 2 = = = 507.5 H

F r2 = 0.4F 2 = 0.4*507.5 = 203 H

3. Составляем шесть уравнений равновесия:

УY = -Р 1 - F 2 + A y + B y = 0 (1)

УX = -F 2r + A х + B х = 0 (2)

УМ yС = -Р 1 * 32 + А у * 20 - В у * 10 = 0 (3)

УМ yВ = - Р 1 * 42 + А у * 30 - F 2 * 10 = 0 (4)

УМ xC = А x * 20 - В x * 10 = 0 (5)

УМ хВ = А x * 30 + F 2r * 10 = 0 (6)

Рассмотрим уравнения (3) и (4)

840 * 32 + А у * 20 - В у * 10 = 0

840 * 42 + А у * 30 - 507,5 *10 = 0

Из последнего уравнения:

А у = 40355/30 = 1345 Н

Из первого уравнения:

26880 + 26900 = 10*В у? В у = 20/10 = 2 Н

Рассмотрим уравнения (5) и(6)

А x * 20 - В x * 10 = 0

А x * 30 + 203* 10 = 0

Из последнего уравнения А х = 2030/30 = 67,7 Н

Из первого уравнения: 1353,3 = 10*В у? В у = 1353/10 = 135,3 Н

Проверку произведем по уравнениям (1) и (2):

УY = -840 - 507,5 + 1345 + 2 = 0

УX = -203 + 67,7 + 135,3 = 0

Расчеты произведены верно. Окончательно реакции опор А и В:

А = = = 1346,7 Н

В = = = 135,3 Н

Условие жесткости при кручении: .

Условие жесткости при кручении: .

Из условия прочности и жесткости можно определить размеры поперечного сечения. Окончательные значения диаметров округлить до ближайших стандартных по ГОСТ (30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160).

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных диаметров выбираем большее.

Пример 1. Для стального трансмиссионного вала, постоянного по длине сечения и вращающегося с постоянной угловой скоростью. Построить эпюру крутящих моментов, определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая, что поперечное сечение вала – круг и поперечное сечение вала – кольцо, имеющее соотношение диаметров . Сравнить во сколько раз вал кольцевого сечения будет легче сплошного. Принять:[τ к ] = 30 МПа Р 2 = 0,5 Р 1, Р 3 = 0,3 Р 1 Р 4 = 0,2 Р 1

G = 8·10 4 МПа [ φ 0 ] = 0,02 рад/м

Решение:

Определяем вращающие моменты.

Разбиваем вал на участки и определяем значение крутящего момента на каждом участке.

Строим эпюру крутящих моментов.

Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости.

Опасным сечением является участок II М к max = 3,6· 10 3 Н · м

Сечение вала – круг

Принимаем d = 85 мм

Принимаем d 1 = 70 мм.

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому принимаем d 1 = 85 мм .

Сечение вала – кольцо

Определяем диаметр вала из условия прочности:

Принимаем D = 105 мм.

Определяем диаметр вала из жесткости:

Принимаем D = 80 мм.

Требуемые диаметры окончательно принимаем из расчета на прочность

Пример 2. Для стального вала (рисунок 11, а ) определить из условия прочности требуемые диаметры каждого участка и углы закручивания этих участков. Угловую скорость вала принять  = 100 рад/с, допускаемое напряжение [ ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига G = 0,8  10 5 МПа.