В общем случае автоматическая система состоит из объекта управления и совокупности устройств, которые обеспечивают управление этим объектом. Как правило, эта совокупность устройств включает в себя измерительные устройства, усилительные и преобразовательные устройства, а также исполнительные устройства. Если объединить эти устройство в одно звено (управляющее устройство), то структурная схема системы выглядит следующим образом:

В автоматической системе информация о состоянии объекта управления через измерительное устройство поступает на вход управляющего устройства. Такие системы называются системами с обратной связью или замкнутыми системами. Отсутствие этой информации в алгоритме управления говорит о том, что система разомкнута. Состояние объекта управления в любой момент времени будем описывать переменными
, которые называются координатами системы или переменными состояния. Их удобно считать координатами- мерного вектора состояния.

Измерительное устройство выдает информацию о состоянии объекта. Если на основании измерения вектора
могут быть найдены значения всех координат
вектора состояния
, то говорят, что система полностью наблюдаема.

Управляющее устройство вырабатывает управляющее воздействие
. Таких управляющих воздействий может быть несколько, они образуют- мерный управляющий вектор.

На вход управляющего устройства поступает задающее входное воздействие
. Это входное воздействие несет информацию о том, какое должно быть состояние объекта. На объект управления может действовать возмущающее воздействие
, которое представляет собой нагрузку или помеху. Измерение координаты объекта, как правило, осуществляется с некоторыми погрешностями
, которые тоже носят случайный характер.

Задачей управляющего устройства является выработка такого управляющего воздействия
, чтобы качество функционирования автоматической системы в целом было бы наилучшим в некотором смысле.

Мы будем рассматривать такие объекты управления, которые являются управляемыми. То есть вектор состояния можно изменять требуемым образом путем соответствующего изменения вектора управления. Будем подразумевать, что объект полностью наблюдаемый.

Так, например, положение летательного аппарата характеризуется шестью координатами состояния. Это
- координаты центра масс,
- углы Эйлера, определяющие ориентацию летательного аппарата относительно центра масс. Положение летательного аппарата можно изменить с помощью рулей высоты, курса, элерона и с помощью уклонения вектора силы тяги. Таким образом управляющий вектор определен следующим образом:

- угол отклонения рулей высоты

- курс

- элерон

- тяга

Вектор состояния
в этом случае определяется следующим образом:

Можно поставить задачу выбора управления, с помощью которого летательный аппарат переводится из заданного начального состояния
в заданное конечное состояние
с минимальными затратами топлива или за минимальное время.

Дополнительная сложность при решении технических задач возникает в силу того, что на управляющее воздействие и на координаты состояния объекта управления, как правило, накладываются различные ограничения.

На любой угол рулей высоты, курса, элерона существуют ограничения:

- тяга сама по себе ограничена.

На координаты состояния объекта управления и их производные также накладываются ограничения, которые связаны с допустимыми перегрузками.

Мы будем рассматривать объекты управления, которые описываются дифференциальным уравнением:

(1)

Или в векторном виде:

--мерный вектор состояния объекта

--мерный вектор управляющих воздействий

- функция правой части уравнения (1)

На вектор управления
накладывается ограничение, мы будем полагать, что его значения принадлежат некоторой замкнутой областинекоторого-мерного пространства. Это означает, что управляющая функция
в любой момент времени принадлежит области(
).

Так, например, если координаты управляющей функции удовлетворяет неравенствам:

то область является-мерным кубом.

Назовем допустимым управлением всякую кусочно-непрерывную функцию
, значения которой в каждый момент временипринадлежит области, и которая может иметь разрывы первого рода. Оказывается, даже в некоторых задачах оптимального управления решение может быть получено в классе кусочно-непрерывного управления. Для того, чтобы выбрать управление
как функцию времени и начального состояния системы
, которое однозначно определяет движение объекта управления, требуется, чтобы система уравнений (1) удовлетворяла условиям теоремы существования и единственности решения в области
. В этой области располагаются возможные траектории движения объекта и возможные управляющие функции
. Если область изменения переменных является выпуклой, то для существования и единственности решения достаточно, чтобы функции

. были непрерывны по всем аргументам и имели непрерывные частные производные по переменным

.

В качестве критерия, который характеризует качество работы системы, выбирается функционал вида:

(2)

В качестве функции
будем предполагать, что она непрерывна по всем своим аргументам и имеет непрерывные частные производные по

.

Оптимальное управление в последние годы начали применять как в технических системах для повышения эффективности производственных процессов, так и в системах организационного управления для совершенствования деятельности предприятий, организаций, отраслей народного хозяйства.

В организационных системах обычно интересуются конечным, установившимся результатом команды, не исследуя

эффективность во время переходного процесса между отдачей команды и получением окончательного результата Объясняется это тем, что обычно в таких системах потери в переходном процессе достаточно малы и влияют несущественно на общую величину выигрыша в установившемся режиме, поскольку сам установившийся режим значительно более длителен, чем переходный процесс. Но иногда динамика не исследуется из-за математических трудностей. Методам оптимизации конечных состояний в организационных и экономических системах посвящены курсы методов. оптимизации и исследования операций.

В управлении динамическими техническими системами оптимизация часто существенна именно для переходных процессов, в которых показатель эффективности зависит не только от текущих значений координат (как в экстремальном управлении), но и от характера изменения в прошлом, настоящем и будущем, и выражается некоторым функционалом от координат, их производных и, может быть, времени.

В качестве примера можно привести управление бегом спортсмена на дистанции. Так как его запас энергии ограничен физиологическими факторами, а расходование запаса зависит от характера бега, спортсмен уже не может в каждый момент отдавать максимум возможной мощности, чтобы не израсходовать запас энергии преждевременно и не выдохнуться на дистанции, а должен искать оптимальный для своих особенностей режим бега.

Нахождение оптимального управления в подобных динамических задачах требует решения в процессе управления достаточно сложной математической задачи методами вариационного исчисления или математического программирования в зависимости от вида математического описания (математической модели) системы. Таким образом, органической составной частью системы оптимального управления становится счетно-решающее устройство или вычислительная машина. Принцип поясняется на рис. 1.10. На вход вычислительного устройства (машины) ВМ поступает информация о текущих значениях координат х с выхода объекта О, об управлениях и с его входа, о внешних воздействиях z на объект, а также задание извне различных условий: значение критерия оптимальности граничных условий информация о допустимых значениях Вычислительное

6.2.1. Постановка и классификация задач теории оп­тимального управления. В подавляющем большинстве рас­смотренных нами задач факторы, связанные с изменением изу­чаемых объектов и систем в течение времени, выносились за скобки. Возможно, при выполнении определенных предпосы­лок такой подход является конструктивным и правомерным. Однако очевидно и то, что это допустимо далеко не всегда. Су­ществует обширный класс задач, в которых необходимо найти оптимальные действия объекта, учитывающие динамику его состояний во времени и пространстве. Методы их решения со­ставляют предмет математической теории оптимального управ­ления.

В весьма общем виде задача оптимального управления мо­жет быть сформулирована следующим образом:

Имеется некоторый объект, состояние которого харак­теризуется двумя видами параметров - параметрами состояния и параметрами управления, причем в зависи­мости от выбора последних процесс управления объек­том протекает тем или иным образом. Качество про­цесса управления оценивается с помощью некоторого функционала*, на основе чего ставится задача: найти такую последовательность значений управляющих па­раметров, для которой данный функционал принимает экстремальное значение.

* Функционалом называется числовая функция, аргументами кото­рой, как правило, служат другие функции.

С формальной точки зрения многие проблемы оптимального управления могут быть сведены к задачам линейного или нели­нейного программирования большой размерности, так как каж­дой точке пространства состояний соответствует свой вектор неизвестных переменных. Все же, как правило, движение в дан­ном направлении без учета специфики соответствующих задач не приводит к рациональным и эффективным алгоритмам их ре­шения. Поэтому методы решения задач оптимального управле­ния традиционно связаны с другим математическим аппаратом, берущим свое начало от вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Следует также заметить, что опять-таки в силу исторических причин теория оптимального управ­ления была ориентирована на физические и технические при­ложения, и ее применение для решения экономических задач носит в определенном смысле вторичный характер. В то же вре­мя в целом ряде случаев модели исследования, применяющие аппарат теории оптимального управления, могут привести к содержательным и интересным результатам.

К сказанному выше необходимо добавить замечание о тес­ной связи, существующей между методами, применяемыми для решения задач оптимального управления, и динамическим про­граммированием. В одних случаях они могут использоваться на альтернативной основе, а в других довольно удачно дополнять друг друга.

Существуют различные подходы к классификации задач оп­тимального управления. Прежде всего, их можно классифици­ровать в зависимости от объекта управления:

Ø Ø задачи управления с сосредоточенными параметрами;

Ø Ø задачи управления объектами с распределенными парамет­рами.

Примером первых является управление самолетом как еди­ным целым, а вторых - управление непрерывным технологи­ческим процессом.

В зависимости от типа исходов, к которым приводят приме­няемые управления, выделяют детерминированные и стоха­стические задачи. В последнем случае результатом управле­ния является множество исходов, описываемых вероятностями их наступления.

По характеру изменения управляемой системы во времени различают задачи:

Ø Ø с дискретно изменяющимся временем ;

Ø Ø с непрерывно изменяющимся временем .

Аналогично классифицируются задачи управления объекта­ми с дискретным или непрерывным множеством возможных состояний. Задачи управления системами, в которых время и со­стояния меняются дискретно, получили название задач управле­ния конечными автоматами . Наконец, при определенных ус­ловиях могут ставиться задачи управления смешанными системами.

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в час­тных производных. При исследовании систем с распределенны­ми параметрами, в зависимости от вида используемых диффе­ренциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболиче­ские, эллиптические или гиперболические.

Рассмотрим два простейших примера задач управления эко­номическими объектами.

Задача распределения ресурсов. Имеется т складов с номерами i (i ∊1:m ), предназначенных для хранения однородно­го продукта. В дискретные моменты времени t ∊0:(T -l) проис­ходит его распределение между объектами-потребителями (клиентами) с номерами j , j ∊1:n . Пополнение запаса в пунктах хранения продукта в t -й момент времени определяется величи­нами a i t , i ∊1:m , а потребности клиентов в нем равняются b j t , j ∊1:n . Обозначим через c t i,j - затраты на доставку единицы продукта из i -го склада j -му потребителю в момент времени t. Также предполагается, что продукт, поступивший на склад в момент t , может быть использован, начиная со следующего мо­мента (t +l). Для сформулированной модели ставится задача найти такой план распределения ресурсов {х t i,j } T m xn , который минимизирует суммарные расходы на доставку потребителям продукции со складов в течение полного периода функциониро­вания системы.

Обозначив через х t i,j количество продукта, поставляемое j -му клиенту с i -го склада в t -й момент времени, а через z t i - общее количество продукта на i -м складе, описанную выше про­блему можно представить как задачу нахождения таких сово­купностей переменных

которые обращают в минимум функцию

при условиях

где объемы начальных запасов продукта на складах z 0 i = ž i . пред­полагаются заданными.

Задачу (6.20)-(6.23) называют динамической транспорт­ной задачей линейного программирования . С точки зрения приведенный выше терминологии независимые переменные х t i,j представляют собой параметры управления системой, а зави­сящие от них переменные z t i - совокупность параметров состояния системы в каждый момент времени t. Ограничения z t i ≥ 0 гарантируют, что в любой момент времени с любого скла­да не может быть вывезен объем продукта, превышающий его фактическое количество, а ограничения (6.21) задают правила изменения этого количества при переходе от одного периода к другому. Ограничения данного вида, которые задают условия на значения параметров состояния системы, принято называть фазовыми.

Отметим также, что условие (6.21) служит простейшим при­мером фазовых ограничений, поскольку связываются значения параметров состояния для двух смежных периодов t и t +l. В общем случае может устанавливаться зависимость для груп­пы параметров, принадлежащих нескольким, возможно не­смежным, этапам. Такая потребность может возникнуть, на­пример, при учете в моделях фактора запаздывания поставок.

Простейшая динамическая модель макроэкономики. Представим экономику некоторого региона как совокупность п отраслей (j ∊1:п ), валовой продукт которых в денежном вы­ражении на некоторый момент t может быть представлен в виде вектора z t =(z t 1 , z t 2 ,..., z t n ), где t ∊0:(Т -1). Обозначим через A t матрицу прямых затрат, элементы которой a t i,j , отражают затра­ты продукции i -й отрасли (в денежном выражении) на изготов­ление единицы продукции j -й отрасли в t -й момент времени. Если X t = ║x t i,j ║ n xm - матрица, задающая удельные нормы продукции i -й отрасли, идущей на расширение производства в j -й отрасли, а у t = (у t 1 , у t 2 , ..., у t n ) - вектор объемов продукции от­раслей потребления, идущей на потребление, то условие рас­ширенного воспроизводства можно записать как

где z 0 = ž - исходный запас продукции отраслей предполагает­ся заданным и

В рассматриваемой модели величины z t являются парамет­рами состояния системы, а X t - управляющими параметрами. На ее базе могут быть поставлены различные задачи, типичным представителем которых является задача оптимального вывода экономики на момент Т к некоторому заданному состоянию z *. Данная задача сводится к отысканию последовательности управляющих параметров

удовлетворяющих условиям (6.24)-(6.25) и минимизирующих функцию

6.2.2. Простейшая задача оптимального управления. Один из приемов, применяемых для решения экстремальных задач, состоит в выделении некоторой проблемы, допускающей относительно несложное решение, к которой в дальнейшем могут быть сведены остальные задачи.

Рассмотрим так называемую простейшую задачу управле­ния . Она имеет вид

Специфика условий задачи (6.27)-(6.29) состоит в том, что функции качества управления (6.27) и ограничения (6.28) яв­ляются линейными относительно z t , в то же время функция g (t , х t ), входящая в (6.28), может быть произвольной. Послед­нее свойство делает задачу нелинейной даже при t =1, т. е. в статическом варианте.

Общая идея решения задачи (6.27)-(6.29) сводится к ее «расщеплению» на подзадачи для каждого отдельно взятого момента времени, в предположении, что они успешно разреши­мы. Построим для задачи (6.27)-(6.29) функцию Лагранжа

где λ t - вектора множителей Лагранжа (t ∊0:Т ). Ограничения (6.29), носящие общий характер, в функцию (6.30) в данном случае не включены. Запишем ее в несколько иной форме

Необходимые условия экстремума функции Ф(х, z, λ) по со­вокупности векторов z t задаются системой уравнений

которая называется системой для сопряженных перемен­ных . Как можно заметить, процесс нахождения параметров λ t в системе (6.32) осуществляется рекуррентным образом в об­ратном порядке.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа по переменным λ t будут эквивалентны ограничениям (6.28), и, наконец, условия ее экстремума по совокупности векторов х t ∊Х t , t ∊1:(Т -1) должны быть найдены как результат реше­ния задачи

Таким образом, задача поиска оптимального управления сво­дится к поиску управлений, подозрительных на оптимальность, т. е. таких, для которых выполняется необходимое условие оп­тимальности. Это, свою очередь, сводится к нахождению таких t , t , t , удовлетворяющих системе условий (6.28), (6.32), (6.33), которая называется дискретным принципом максиму­ма Понтрягина.

Справедлива теорема.

Доказательство.

Пусть t , t , t , удовлетворяют системе (6.28), (6.32), (6.33). Тогда из (6.31) и (6.32) следует, что

и поскольку t удовлетворяет (6.33), то

С другой стороны, в силу (6.28) из (6.30) следует, что при любом векторе t

Следовательно,

Применяя теорему (6.2), а также положения теории нели­нейного программирования, касающиеся связи между решени­ем экстремальной задачи и существованием седловой точки (см. п. 2.2.2), приходим к выводу о том, что векторы t , t явля­ются решением простейшей задачи оптимального управления (6.27)-(6.29).

В результате мы получили логически простую схему реше­ния данной задачи: из соотношений (6.32) определяются сопря­женные переменные t , затем в ходе решения задачи (6.33) на­ходятся управления t и далее из (6.28) - оптимальная траектория состояний t ,.

Предложенный метод относится к фундаментальным резуль­татам теории оптимального управления и, как уже это упомина­лось выше, имеет важное значение для решения многих более сложных задач, которые, так или иначе, сводятся к простей­шей. В то же время очевидны и пределы его эффективного ис­пользования, которые целиком зависят от возможности реше­ния задачи (6.33).

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Игра, игрок, стратегия.

Ø Ø Игры с нулевой суммой.

Ø Ø Матричные игры.

Ø Ø Антагонистические игры.

Ø Ø Принципы максимина и минимакcа.

Ø Ø Седловая точка игры.

Ø Ø Цена игры.

Ø Ø Смешанная стратегия.

Ø Ø Основная теорема матричных игр.

Ø Ø Динамическая транспортная задача.

Ø Ø Простейшая динамическая модель макроэкономики.

Ø Ø Простейшая задача оптимального управления.

Ø Ø Дискретный принцип максимума Понтрягина.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Кратко сформулируйте предмет теории игр как научной дисциплины.

6.2. Какой смысл вкладывается в понятие «игра»?

6.3. Для описания каких экономических ситуаций может быть применен аппарат теории игр?

6.4. Какая игра называется антагонистической?

6.5. Чем однозначно определяются матричные игры?

6.6. В чем заключаются принципы максимина и минимакcа?

6.7. При каких условиях можно говорить о том, что игра име­ет седловую точку?

6.8. Приведите примеры игр, которые имеют седловую точку и в которых она отсутствует.

6.9. Какие подходы существуют к определению оптимальных стратегий?

6.10. Что называют «ценой игры»?

6.11. Дайте определение понятию «смешанная стратегия».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов Л. М., Капустин В. Ф. Математическое про­граммирование. Л.,1981.

2. Ашманов С. А. Линейное программирование: Учеб. посо­бие. М., 1981.

3. Ашманов С. А., Тихонов А. В. Теория оптимизации в зада­чах и упражнениях. М., 1991.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамичес­кого программирования. М., 1965.

6. Гавурин М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л., 1984.

7. Гасс С. Линейное программирование (методы и приложе­ния). М., 1961.

8. Гейл Д . Теория линейных экономических моделей М., 1963.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимиза­ция / Пер. с англ. М., 1985.

10. Давыдов Э. Г. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. М., 1990.

11. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобще­ния и применения. М.,1966.

12. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линей­ного и выпуклого программирования. М., 1976.

13. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы исследования операций: Учеб. пособие для вузов. Киев, 1979.

14. Зайченко Ю. П. Исследование операций, 2-е изд. Киев, 1979.

15. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. Единый подход. М., 1973.

16. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М., 1963.

17. Карлин С. Математические методы в теории игр, про­граммировании и экономике. М., 1964.

18. Карманов В. Г. Математическое программирование: Учеб. пособие. М., 1986.

19. Корбут А.А., Финкелыитейн Ю. Ю. Дискретное про­граммирование. М., 1968.

20. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели иссле­дования операций. М., 1977.

21. Кюнце Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.,1965.

22. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.3. Линейное и нелинейное программирование. Киев, 1975.

23. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., 1960.

24. Мухачева Э. А., Рубинштейн Г. Ш. Математическое программирование. Новосибирск, 1977.

25. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономи­ческое поведение. М, 1970.

26. Оре О. Теория графов. М., 1968.

27. Таха X. Введение в исследование операций/ Пер. с англ. М.,1985.

28. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирова­ние. Методы последовательной безусловной минимизации. М.,1972.

29. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирова­ние. М., 1967.

30. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирова­ние (теория, методы и приложения). М., 1969.

31. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирова­ние. Теория и конечные методы. М., 1963.

32. Lapin L. Quantitative methods for business decisions with cases. Fourth edition. HBJ, 1988.

33. Liitle I.D.C., Murty K.G„ Sweeney D.W., Karel C. An al­gorithm for traveling for the traveling salesman problem. - Operation Research, 1963, vol.11, No. 6, p. 972-989/ Русск. пер.: Литл Дж., Мурти К., Суини Д., Керел К. Алгоритм для решения задачи о коммивояжере. - В кн.: Экономика и мате­матические методы, 1965, т. 1, № 1, с. 94-107.

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................................................................................................ 2

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................................................................................................... 3

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................................................................................................... 8

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................................................................. 9

1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЗЛП И ЕЕ ПЕРВАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ........................................................... 11

1.3. БАЗИСНЫЕ РЕШЕНИЯ И ВТОРАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗЛП..................................................................... 15

1.4. СИМПЛЕКС-МЕТОД........................................................................................................................................................................................ 17

1.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД..................................................................................................................................... 26

1.6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ....................................................................................... 30

1.7. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД................................................................................................................................................... 37

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 42

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 43

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................. 44

2.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ...................................................................................... 44

2.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ................................................................................................... 55

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 59

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 59

ГЛАВА 3. ТРАНСПОРТНЫЕ И СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ................................................................................................................................ 60

3.1. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ........................................................................................................................ 60

3.2. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................................................... 66

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 73

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 73

ГЛАВА 4. ДИСКРЕТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................... 74

4.1. ТИПЫ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ..................................................................................................................... 74

4.2. МЕТОД ГОМОРИ............................................................................................................................................................................................... 78

4.3. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.......................................................................................................................................................................... 81

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ.......................................................................................................................................................................................... 86

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................... 86

ГЛАВА 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ........................................................................................................................... 86

5.1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................................................. 86

5.2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.................................................................................................... 93

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ........................................................................................................................................................................................ 101

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................ 101

ГЛАВА 6. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ РАЗДЕЛОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ................................................................. 101

6.1. ТЕОРИЯ ИГР...................................................................................................................................................................................................... 101

6.2. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ........................................................................................................................................... 108

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ........................................................................................................................................................................................ 112

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................................................................................................................................ 112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................................................................................................................ 112

Оптимальное управление

Оптимальное управление - это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы .

Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств .

Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление , принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана .

Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.

Задача оптимального управления

Сформулируем задачу оптимального управления:

здесь - вектор состояния - управление, - начальный и конечный моменты времени.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.

Вариационное исчисление

Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления . Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа . Функция Лагранжа имеет вид: , где - граничные условия. Лагранжиан имеет вид: , где , , - n-мерные вектора множителей Лагранжа .

Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:

Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть - в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге

Принцип максимума Понтрягина

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:

Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге .

Где применяется

Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.

История

За разработку теории оптимального управления Л.С. Понтрягину и его сотрудникам В.Г. Болтянскому , Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко в 1962 г была присуждена Ленинская премия .

Метод динамического программирования

Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса последующие управления должны составлять оптимальную стратегию управления относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса . Более подробно метод динамического программирования изложен в книге

Примечания

Литература

1. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами. - М.: Сов. радио, 1980. - 232 с., ББК 32.815, тир. 12000 экз.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М. , Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979, УДК 519.6, - 223 c., тир. 24000 экз.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Оптимальное управление" в других словарях:

Оптимальное управление - ОУ Управление, обеспечивающее наивыгоднейшее значение определенного критерия оптимальности (КО), характеризующего эффективность управления при заданных ограничениях. В качестве КО могут быть выбраны различные технические или экономические… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

оптимальное управление - Управление, цель которого заключается в обеспечении экстремального значения показателя качества управления. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 107. Теория управления. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.]… … Справочник технического переводчика

Оптимальное управление - 1. Основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: «О.у.»); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее с точки… … Экономико-математический словарь

Позволяет при заданных условиях (часто противоречивых) достичь поставленной цели наилучшим образом, напр. за минимальное время, с наибольшим экономическим эффектом, с максимальной точностью … Большой Энциклопедический словарь

Летательным аппаратом раздел динамики полёта, посвящённый развитию и использованию методов оптимизации для определения законов управления движением летательного аппарата и его траекторий, обеспечивающих максимум или минимум выбранного критерия… … Энциклопедия техники

Раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи. Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены «рулями» с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается… … Большая советская энциклопедия

Оптимальные САУ – это системы в которых управление осуществляется таким образом что требуемый критерий оптимальности имеет экстремальное значение. Граничные условия определяющие начальное и требуемое конечное состояния системы технологическая цель системы. tн Её ставят в тех случаях когда особый интерес представляет среднее отклонение в течение определённого интервала времени и задача системы управления – обеспечить минимум этого интеграла...

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Оптимальное управление

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. – 519с. С. 477 – 491.

Оптимальные САУ – это системы, в которых управление осуществляется таким образом, что требуемый критерий оптимальности имеет экстремальное значение.

Примеры оптимального управления объектами:

1. Управление движением ракеты с целью достижения ею заданной высоты или дальности при минимальном расходе горючего;
2. Управление перемещением приводимого двигателем механизма, при котором минимизировались бы затраты энергии;
3. Управление атомным реактором, при котором максимальна производительность.

Задача оптимального управления формулируется следующим образом:

“Найти такой закон изменения во времени управления u (t ), при котором система при заданных ограничениях перейдёт из одного заданного состояния в другое оптимальным образом в том смысле,что функционал I , выражающий качество процесса, получит при найденном управлении экстремальное значение “.

Чтобы решить задачу оптимального управления, необходимо знать:

1.Математическое описание объекта и среды, связывающее значения всех координат исследуемого процесса,управляющих и возмущающих воздействий;

2.Ограничения физического характера на координаты и закон управления, выраженные математически;

3. Граничные условия, определяющие начальное и требуемое конечное состояния системы

(технологическая цель системы);

4.Целевую функцию (функционал качества –

математическая цель).

Математически критерий оптимальности чаще всего представляют в виде:

t к

I =∫ f o [ y (t ), u (t ), f (t ), t ] dt + φ [ y (t к ), t к ], (1)

t н

где первое слагаемое характеризует качество управления на всём интервале (t н , t н ) и называется

интегральной составляющей, второе слагаемое

характеризует точность в конечный (терминальный) момент времени t к .

Выражение (1) называется функционалом, так как I зависит от выбора функции u (t ) и получающегося при этом y (t ).

Задача Лагранжа. В ней минимизируется функционал

t к

I=∫f o dt.

t н

Её ставят в тех случаях, когда особый интерес представляет среднее отклонение в течение

определённого интервала времени, и задача системы управления – обеспечить минимум этого интеграла (ухудшение качества продукции, убыток и т.п.).

Примеры функционалов:

I =∫ (t ) dt – критерий минимальной ошибки в установившемся режиме, где x (t ) –

1. отклонение управляемого параметра от заданного значения;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min – критерий максимального быстродействия САУ;

I =∫ dt = > min – критерий оптимальной экономичности.

Задача Майера. В этом случае минимизируемым является функционал, определяемый только терминальной частью, т.е.

I = φ =>min.

Например, для системы управления ЛА, описываемым уравнением

F o (x , u , t ),

можно поставить следующую задачу: определить управление u (t ), t н ≤ t ≤ t к так, чтобы за

заданное время полёта достичь максимальной дальности при условии, что в конечный момент времени t к ЛА совершит посадку, т.е. x (t к ) =0.

Задача Больца сводится к задаче минимизации критерия (1).

Базовыми методами решения задач оптимального управления являются:

1.Классическое вариационное исчисление – теорема и уравнение Эйлера;

2.Принцип максимума Л.С. Понтрягина;

3.Динамическое программирование Р. Беллмана.

УРАВНЕНИЕ И ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Пусть задан функционал:

t к

I =∫ f o dt ,

t н

где – некоторые дважды дифференцируемые функции, среди которых необходимо найти такие функции (t ) или экстремали , которые удовлетворяют заданным граничным условиям x i (t н ), x i (t к ) и минимизируют функционал.

Экстремали отыскиваются среди решений уравнения Эйлера

I = .

Для установления факта минимизации функционала необходимо удостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия Лагранжа:

аналогичные требованиям положительности второй производной в точке минимума функции.

Теорема Эйлера: “Если экстремум функционала I существует и достигается среди гладких кривых, то он может достигаться только на экстремалях”.

ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л.С.ПОНТРЯГИНА

Школа Л.С.Понтрягина сформулировала теорему о необходимом условии оптимальности, сущность которой в следующем.

Допустим, что дифференциальное уравнение объекта вместе с неизменяемой частью управляющего устройства заданы в общей форме:

На управление u j могут накладываться ограничения, например, в виде неравенств:

, .

Цель управления состоит в переводе объекта из начального состояния (t н ) в конечное состояние (t к ). Момент окончания процесса t к может быть фиксированным или свободным.

Критерием оптимальности пусть будет минимум функционала

I = dt .

Введём вспомогательные переменные и образуем функцию

Fo ()+ f () f ()+

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т.е. для получения минимума функционала, необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций, удовлетворяющих уравнению

Что при любом t , находящемся в заданном диапазоне t н≤ t ≤ t к , величина Н, как функция допустимого управления, достигает максимума.

Максимум функции Н определяется из условий:

если не достигает границ области, и как точная верхняя грань функции Н по в противном случае.

Динамическое программирование Р.Беллмана

Принцип оптимальности Р.Беллмана:

“ Оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.”

Под “поведением” системы следует понимать движение этих систем, а термин “решение” относится к выбору закона изменения во времени управляющих сил.

В динамическом программировании процесс поиска экстремалей разбивается на n шагов, в то время как в классическом вариационном исчислении ведётся поиск экстремали целиком.

Процесс поиска экстремали базируется на следующих предпосылках принципа оптимальности Р.Беллмана:

1. Каждый отрезок оптимальной траектории является сам по себе оптимальной траекторией;
2. Оптимальный процесс на каждом участке не зависит от его предыстории;
3. Оптимальное управление (оптимальная траектория) ищется с помощью попятного движения [от y (T ) к y (T -∆) , где ∆ = Т/ N , N – число участков разбиения траектории, и т.д.].

Эвристически уравнения Беллмана для требуемых постановок задач выведены применительно к непрерывным и дискретным системам.

Адаптивное управление

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB . – СПб.: Наука, 1999. – 467с. Глава 12.

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. – 519с. С. 491 – 499.

Анхимюк В.Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352с. С. 328 – 340.

Необходимость в адаптивных системах управления возникает в связи со значительным усложнением решаемых задач управления, причем специфическая особенность такого усложнения заключается в отсутствии практической возможности для подробного изучения и описания процессов, протекающих в управляемом объекте.

Например, современные высокоскоростные летательные аппараты, точные априорные данные о характеристиках которых во всех условиях функционирования не могут быть получены из-за значительных разбросов параметров атмосферы, больших диапазонов изменения скоростей полета, дальностей и высот, а также из-за наличия широкого спектра параметрических и внешних возмущений.

Некоторые объекты управления (самолеты и ракеты, технологические процессы и энергетические установки) отличаются тем, что их статические и динамические характеристики изменяются в широких пределах непредвиденным заранее образом. Оптимальное управление такими объектами возможно с помощью систем, в которых недостающая информация автоматически пополняется самой системой в процессе работы.

Адаптивными (лат.” adaptio ” – приспособление) называются такие системы, которые при изменении параметров объектов или характеристик внешних воздействий в процессе эксплуатации самостоятельно, без участия человека изменяют параметры регулятора, его структуру, настройку или регулирующие воздействия для поддержания оптимального режима работы объекта.

Создание адаптивных систем управления осуществляется в принципиально иных условиях, т.е. адаптивные методы должны способствовать достижению высокого качества управления при отсутствии достаточной полноты априорной информации о характеристиках управляемого процесса или в условиях неопределенности.

Классификация адаптивных систем :

Самоприспосабливающиеся

(адаптивные)

Системы управления

Самонастраивающиеся Самообучающиеся Системы с адаптацией

Системы системы в особых фазовых

Состояниях

Поисковые Беспоиско- Обучающие- Обучающие- Релейные Адаптивные

(экстремаль- вые (анали- ся с поощре- ся без автоколеба- системы с

Ные) тические) нием поощрения тельные переменной

Системы системы системы структурой

Структурная схема классификации АС (по характеру процесса адаптации)

Самонастраивающиеся системы (СНС) представляют собой системы, в которых адаптация при изменении условий работы осуществляется путем изменения параметров и управляющих воздействий.

Самоорганизующимися называются системы, в которых адаптация осуществляется за счет изменения не только параметров и управляющих воздействий, но и структуры.

Самообучающаяся – это система автоматического управления, в которой оптимальный режим работы управляемого объекта определяется с помощью управляющего устройства, алгоритм которого автоматически целенаправленно совершенствуется в процессе обучения путем автоматического поиска. Поиск производится с помощью второго управляющего устройства, являющегося органической частью самообучающейся системы.

В поисковых системах изменение параметров управляющего устройства или управляющего воздействия осуществляется в результате поиска условий экстремума показателей качества. Поиск условий экстремума в системах этого типа осуществляется с помощью пробных воздействий и оценки полученных результатов.

В беспоисковых системах определение параметров управляющего устройства или управляющих воздействий производится на основе аналитического определения условий, обеспечивающих заданное качество управления без применения специальных поисковых сигналов.

Системы с адаптацией в особых фазовых состояниях используют особые режимы или свойства нелинейных систем (режимы автоколебаний, скользящие режимы) для организации контролируемых изменений динамических свойств системы управления. Специально организованные особые режимы в таких системах либо служат дополнительным источником рабочей информации об изменяющихся условиях функционирования системы, либо наделяют системы управления новыми свойствами, за счет которых динамические характеристики управляемого процесса поддерживаются в желаемых пределах независимо от характера возникающих при функционировании изменений.

При применении адаптивных систем решаются следующие основные задачи:

1 . В процессе функционирования системы управления при изменении параметров, структуры и внешних воздействий обеспечивают такое управление, при котором сохраняются заданные динамические и статические свойства системы;

2 . В процессе проектирования и наладки при начальном отсутствии полной информации о параметрах, структуре объекта управления и внешних воздействиях производят автоматическую настройку системы в соответствии с заданными динамическими и статическими свойствами.

Пример 1 . Адаптивная система стабилизации углового положения ЛА.

f 1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )

Д1 Д2 Д3

ВУ1 ВУ2 ВУ3 f (t ) f 1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )

u (t ) W 1 (p ) W 0 (p ) y (t )

+ -

Рис. 1.

Приспосабливающаяся система стабилизации ЛА

При изменении условий полета меняется передаточная функция W 0 (p ) ЛА, а, следовательно, и динамическая характеристика всей системы стабилизации:

. (1)

Возмущения со стороны внешней среды f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) , приводящие к контролируемым изменениям параметров системы, приложены к различным точкам объекта.

Возмущающее воздействие f (t ) , приложенное непосредственно к входу объекта управления, в отличие от f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) не меняет его параметров. Поэтому в процессе работы системы измеряют только f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ).

В соответствии с принципом обратной связи и выражением (1) неконтролируемые изменения характеристики W 0 (p ) из-за возмущений и помех вызывают сравнительно небольшие изменения параметров Ф(p ) .

Если поставить задачу более полной компенсации контролируемых изменений, чтобы передаточная функция Ф(р) системы стабилизации ЛА оставалась практически неизменной, то следует надлежащим образом изменить характеристику регулятора W 1 (p ). Это и осуществляется в приспосабливающейся САУ, выполненной по схеме рис.1. Параметры внешней среды, характеризуемые сигналами f 1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ), например давление скоростного напора P H (t ) , температура окружающего воздуха T 0 (t ) и скорость полёта υ(t ) , непрерывно измеряются датчиками Д 1 , Д 2 , Д 3 , и текущие значения параметров поступают в вычислительные устройства В 1, В 2 ,В 3 , вырабатывающие сигналы, с помощью которых подстраивается характеристика W 1 (p ), чтобы компенсировать изменения характеристики W 0 (p ).

Однако, в АСАУ данного типа (с разомкнутым циклом настройки) отсутствует самоанализ эффективности осуществляемых ею контролируемых изменений.

Пример 2. Экстремальная система управления скоростью полета ЛА.

Z Возмущающее

Воздействие

X 3 = X 0 - X 2

Устройство авто- X 0 Усилительно- X 4 Исполнительное X 5 Регулируемый X 1

Матического по- преобразователь- устройство объект

Иска экстремума + - ное устройство

Измерительное

Устройство

Рис.2.Функциональная схема экстремальной системы управления скоростью полета ЛА

Экстремальная система определяет наивыгоднейшую программу, т.е. то значение X 1 (требуемая скорость движения ЛА), которое нужно в данный момент выдерживать, чтобы производился минимум расхода горючего на единицу длины пути.

Z - характеристика объекта; X 0 - управляющее воздействие на систему.

(величина расхода горючего)

y(0)

y(T)

Самоорганизующиеся системы