Դասընթաց. Հերթագրման համակարգ սահմանափակ սպասման ժամանակով: Մեկ ալիքով հերթագրման համակարգեր Ժամանակը, որն անցկացվում է հարցումով հերթում

Համակարգը ստանում է հաճախորդների Poisson հոսք λ ինտենսիվությամբ, սպասարկման հոսքն ունի μ ինտենսիվություն, իսկ հերթում նստատեղերի առավելագույն քանակը. Տ.Եթե ​​հայցը մտնում է համակարգ, երբ հերթի բոլոր տեղերը զբաղված են, այն թողնում է համակարգը չմատուցված:

Նման համակարգի վիճակների վերջնական հավանականությունները միշտ կան, քանի որ վիճակների թիվը վերջավոր է.

S 0 - համակարգը ազատ է և անգործուն;

S 1 - սպասարկվում է մեկ հարցում, ալիքը զբաղված է, հերթ չկա;

S 2 - մեկ հարցում սպասարկվում է, մեկը հերթում է.

Ս մ +1 - մատուցվում է մեկ խնդրանք, Տհերթ.

Նման համակարգի վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 5-ում.

S 0 S 1 S 2 S m + 1

μ μ μ ………. μ μ

Գծապատկեր 5. Մեկ ալիքով հերթագրման համակարգ՝ սահմանափակ հերթով:

Բանաձևում Ռ 0 Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների վերջավոր թվի գումարը.

(52)

Հաշվի առնելով ρ-ի բանաձևը՝ ստանում ենք արտահայտությունը.

Փակագծերը պարունակում են (m + 2) երկրաչափական պրոգրեսիայի տարրեր՝ առաջին անդամ 1-ով և ρ հայտարարով։ Ըստ պրոգրեսիայի գումարի (m + 2) անդամների բանաձևի.

(54)

(55)

Սահմանափակող վիճակների հավանականությունների բանաձևերը կլինեն հետևյալը.

Ծառայությունից հրաժարվելու հավանականությունըՄենք հարցումները սահմանում ենք որպես հավանականություն, որ երբ հարցումը մտնում է համակարգ, դրա ալիքը զբաղված կլինի, և հերթի բոլոր տեղերը նույնպես զբաղված կլինեն.

(57)

Այստեղից էլ սպասարկման հավանականությունը(ինչպես նաև ից կրելի թողունակություն) հավասար են հակառակ իրադարձության հավանականություններին.

Բացարձակ թողունակություն- Համակարգի կողմից սպասարկվող հարցումների քանակը ժամանակի միավորի համար.

(59)

Սպասարկման ենթակա պահանջների միջին քանակը.

(60)

(61)

Համակարգում հարցումների միջին քանակը.

(62)

Մեկ ալիքով QS-ը սահմանափակ հերթով կարելի է դիտել Mathcad-ում:

Օրինակ:

Ավտոկայանատեղին սպասարկում են 3 մեքենաներ՝ 0,5 թողունակությամբ և 2,5 րոպե միջին սպասարկման ժամանակով։ Որոշեք համակարգի բոլոր ցուցանիշները:

6 Բազմաալիք SMO անսահմանափակ հերթով

Թող տրվի S համակարգ Ն.Սսպասարկման ալիքներ, որոնք ստանում են հաճախորդների ամենապարզ հոսքը λ ինտենսիվությամբ. Թող սպասարկման հոսքը լինի նաև ամենապարզը և ունենա μ ինտենսիվություն: Ծառայությունների հերթը սահմանափակված չէ։

Համակարգում հաճախորդների թվով մենք նշում ենք համակարգի վիճակները՝ S 0, S 1, S 2, ..., S k ,… Ս ն, որտեղ Ս կ – համակարգի վիճակը, երբ կա k հարցումներ (սպասարկման ենթակա հարցումների առավելագույն քանակը n է): Նման համակարգի վիճակի գրաֆիկը պատկերված է գծապատկեր 6-ում.

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S m + 1 S n

μ 2μ 3μ ………. kμ (k + 1) μ …… nμ nμ

Նկար 6. Բազմալիքային QS անսահմանափակ հերթով:

Սպասարկման հոսքի ինտենսիվությունը փոխվում է կախված համակարգի վիճակից՝ kμ պետությունից անցնելիս Ս կ S k -1 վիճակին, քանի որ k-ից որևէ մեկը ալիքներ; այն բանից հետո, երբ բոլոր ալիքները զբաղված են սպասարկումով, ծառայության հոսքի արագությունը մնում է հավասար pm,համակարգում հետեւյալ դիմումները ստանալուց հետո.

Վերջնական վիճակի հավանականությունները գտնելու համար մենք բանաձևեր ենք ստանում նույն կերպ, ինչպես դա արվել է մեկ ալիքային համակարգի համար:

(63)

Այսպիսով, վերջնական հավանականությունների բանաձևերը արտահայտված են

Գտնել Ռ 0 մենք ստանում ենք հավասարումը.

Փակագծերում գտնվող տերմինների համար, սկսած (n + 2)-րդ թվից, կարող ենք կիրառել առաջին անդամի հետ անվերջ նվազող երկրաչափական առաջընթացի գումարը գտնելու բանաձևը. իսկ հայտարարը ρ / n:

(66)

Վերջապես, մենք ստանում ենք Erlang բանաձևը համակարգի խափանումների հավանականությունը գտնելու համար.

(67)

Ահա համակարգի արդյունավետության հիմնական ցուցանիշների հաշվարկման բանաձեւերը.

Համակարգը կհաղթահարի դիմումների հոսքը, եթե

պայմանը բավարարված է

, (68)

ինչը նշանակում է, որ ժամանակի միավորի հաշվով համակարգ մուտքագրված պահանջների քանակը չի գերազանցում համակարգի կողմից նույն ժամանակահատվածում սպասարկված պահանջների թիվը: Որտեղ ծառայության մերժման հավանականությունըհավասար է զրոյի։

Այստեղից սպասարկման հավանականությունը(Ինչպես նաեւ հարաբերական թողունակությունհամակարգեր) հավասար են հակառակ իրադարձության հավանականությանը, այսինքն՝ մեկին.

(69)

ԲացարձակթողունակությունըՀամակարգի կողմից սպասարկվող հարցումների քանակն է ժամանակի միավորի համար.

(70)

Եթե ​​համակարգը հաղթահարում է հավելվածների հոսքը, ապա ստացիոնար ռեժիմում արտահոսքի տոկոսադրույքըհավասար է համակարգ մուտք գործող պահանջների հոսքի ինտենսիվությանը, քանի որ բոլոր պահանջները սպասարկվում են.

ν=λ . (71)

Քանի որ յուրաքանչյուր ալիք սպասարկում է μ պահանջներ ժամանակի միավորի համար, ապա զբաղված ալիքների միջին թիվըկարող եք հաշվարկել.

(72)

Միջինժամանակսպասարկումմեկ հարցման ալիք ;

. (73)

Հավանականությունը, որ համակարգ մուտք գործելիս հայտը հերթում կլինի, հավասար է այն հավանականությանը, որ կան ավելի քան. Ն.Սդիմումները:

(74)

Սպասարկման ենթակա հայտերի քանակը,հավասար է զբաղված ալիքների քանակին.

(75)

Հերթում հայտերի միջին քանակը.

(76)

Հետո միջինըթիվհավելվածներհամակարգում:

(77)

Համակարգում հավելվածի ծախսած միջին ժամանակը (հերթում՝).

(78)

(79)

Mathcad համակարգում կարելի է դիտել անսահմանափակ հերթով բազմալիք QS:

Օրինակ 1:

Վարսավիրանոցն ունի 5 վարպետ։ Պիկ ժամին հաճախորդների հոսքի ինտենսիվությունը 6 հոգի է։ Ժամում. Մեկ հաճախորդի սպասարկումը տևում է միջինը 40 րոպե։ Որոշեք հերթի միջին երկարությունը՝ ենթադրելով, որ այն անսահմանափակ է:

Խնդրի լուծման հատվածը Mathcad-ում.

Օրինակ 2:

Երկաթուղու տոմսարկղն ունի 2 պատուհան։ Մեկ ուղևորի սպասարկման ժամանակը 0,5 րոպե է։ Ուղևորները գալիս են տոմսարկղ 3 հոգու համար։ Որոշեք համակարգի բոլոր բնութագրերը:

Խնդրի լուծման հատվածը Mathcad-ում.

Խնդրի լուծման շարունակությունը Mathcad-ում.

Գործնականում բավականին տարածված են հերթով մեկ ալիք QS-ը (հիվանդներին սպասարկող բժիշկ, մեքենայի հրահանգներ կատարող պրոցեսոր): Ուստի անհրաժեշտ է ավելի մանրամասն դիտարկել հերթով մեկ ալիք QS-ը։

Թող լինի հերթով մեկ ալիք QS, որը ոչ մի սահմանափակման չի ենթարկվում (ոչ հերթի երկարությամբ, ոչ սպասման ժամանակով)։ Այս QS-ը ստանում է l ինտենսիվությամբ դիմումների հոսք; սպասարկման հոսքն ունի m ինտենսիվություն, որը հանդիսանում է պահանջի միջին սպասարկման ժամանակի փոխադարձությունը t vol. Պահանջվում է գտնել QS-ի վիճակների վերջնական հավանականությունները, ինչպես նաև դրա արդյունավետության բնութագրերը.

L SIST- համակարգերում հայտերի միջին թիվը.

W SIST- համակարգում դիմումի մնալու միջին ժամանակը.

L OCH- հերթում հայտերի միջին թիվը.

W OCH- հայտի հերթում մնալու միջին ժամանակը.

Պ ԶԱՆ- ալիքի զբաղված լինելու հավանականությունը (ալիքի բեռնման աստիճանը):

Ինչ վերաբերում է բացարձակ թողունակությանը A-ին և հարաբերական Q-ին, ապա դրանք հաշվարկելու կարիք չկա. քանի որ հերթը անսահմանափակ է, յուրաքանչյուր հարցում վաղ թե ուշ սպասարկվելու է, հետևաբար, նույն պատճառով:

Լուծում. Համակարգի վիճակը, ինչպես նախկինում, համարակալվելու է QS-ում առկա դիմումների քանակով.

- Ս 0 - ալիքն անվճար է;

- Ս 1 - ալիքը զբաղված է (խնդրանք է սպասարկում), հերթ չկա.

- Ս 2 - ալիքը զբաղված է, մեկ հարցում հերթում է.

- Ս k - ալիքը զբաղված է, k-1դիմումները հերթում են.

Տեսականորեն վիճակների թիվն անսահմանափակ է (անսահման): Մահվան և վերարտադրման սխեմայի վերջնական հավանականությունների բանաձևերը ստացվել են միայն վերջավոր թվով վիճակների դեպքում, բայց եկեք մի ենթադրություն անենք՝ մենք դրանք կօգտագործենք անսահման թվով վիճակների համար։ Այնուհետև բանաձևի անդամների թիվը կլինի անսահման: Եկեք մի արտահայտություն ստանանք համար p մասին:

(17) բանաձևի շարքը երկրաչափական պրոգրեսիա է: Մենք գիտենք, որ քանի որ շարքը համընկնում է, այն անսահմանորեն նվազող առաջընթաց է հայտարարի հետ r.Քանի որ շարքը տարբերվում է (ինչն անուղղակի, թեև ոչ խիստ, ապացույց է, որ պետությունների վերջնական հավանականությունները p մասին, p 1, …, p k, ... գոյություն ունեն միայն): Ապա.

Գտեք QS-ում դիմումների միջին թիվը L SIST... Պատահական փոփոխական Z - հայտերի քանակը համակարգում - ունի հնարավոր արժեքներ 0, 1, 2, ..., k, ... հավանականություններով: p մասին, p 1, …, p k, ... Նրա մաթեմատիկական ակնկալիքն է.

Օգտագործելով Little-ի բանաձևը (9), մենք գտնում ենք համակարգում դիմումի միջին բնակության ժամանակը.

Գտնենք հերթում ներկայացված դիմումների միջին թիվը։ Մենք կվիճարկենք հետևյալ կերպ. հերթում գտնվող հաճախորդների թիվը հավասար է համակարգի հաճախորդների թվին` հանած սպասարկվող հաճախորդների թիվը: Սա նշանակում է (ըստ մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարման կանոնի) հերթում հայտերի միջին քանակը. L OCHհավասար է համակարգի հայտերի միջին թվին L SISTհանած սպասարկման ենթակա պահանջների միջին թիվը: Սպասարկման ենթակա բողոքների թիվը կարող է լինել կամ զրո (եթե ալիքն անվճար է) կամ մեկ (եթե այն զբաղված է): Նման պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է ալիքի զբաղված լինելու հավանականությանը Պ ԶԱՆ... Ակնհայտ է, որ.

Հետևաբար, սպասարկման ենթակա պահանջների միջին թիվը հետևյալն է.

Օգտագործելով Little-ի բանաձևը (9), մենք գտնում ենք, թե ինչքան միջին ժամանակն է հայտը գտնվում հերթում:

Հերթով QS-ների շարքում տարբերակում են փակ և բաց համակարգերը։

QS-ները կոչվում են փակ, որոնցում պահանջների մուտքային հոսքը առաջանում է հենց համակարգում և սահմանափակվում: Որպես նման CMO-ի օրինակ կարելի է բերել ձեռնարկությունների վերանորոգման խանութները:

Բաց ավարտված QS-ները կոչվում են, որոնցում հարցումների մուտքային հոսքն անսահմանափակ է: Նման համակարգերի օրինակներ կարող են լինել խանութները, երկաթուղային կայարանների տոմսարկղերը:

Դիտարկենք մեկ ալիքով QS՝ հերթով, որի վրա սահմանափակումներ չեն դրվում: Պահանջների մուտքային հոսքի ինտենսիվությունը կազմում է λ և ծառայության ինտենսիվությունը μ ... Անհրաժեշտ է գտնել վիճակների սահմանափակող հավանականությունները և QS-ի արդյունավետության ցուցանիշները: Համակարգը կարող է լինել նահանգներից մեկում S 0, Ս 1, Ս 2,..., Ս կըստ դրա պահանջների քանակի.

S 0- ալիքն անվճար է;

Ս 1- ալիքը զբաղված է, հերթ չկա;

Ս 2- ալիքը զբաղված է, մեկ հարցում հերթում է.

Ս կ- ալիքը զբաղված է, ( Դեպի–1) պահանջները հերթում են.

QS-ի վիճակի գրաֆիկն ունի հետևյալ ձևը.

λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ

Եթե ա<1, т.е. среднее число поступающих требований меньше среднего числа обслуженных требований, то предельные вероятности существуют и очередь не может расти бесконечно. Если ա≥1, այնուհետև հերթը հասնում է անսահմանության: Այսպիսով, մենք ենթադրում ենք, որ ա<1.

Վիճակների սահմանափակող հավանականությունները որոշվում են բանաձևերով. (6.16)

Հավանականությունը, որ սպասարկման ալիքն անվճար է, այսինքն. համակարգը գտնվում է վիճակում; (6.17)

Հավանականությունը, որ ալիքը զբաղված է, բայց հերթ չկա.

Հավանականությունը, որ ալիքը զբաղված է, և 1 հարցման հերթ կա և այլն։

Հավանականությունը, որ QS-ը գտնվում է վիճակում

Համակարգում պահանջների միջին թիվը որոշվում է բանաձևով.

Հերթի միջին երկարությունը Լ օչ:

Համակարգում անցկացրած միջին ժամանակը Տ սիստ:

Հերթի միջին ժամանակը Տ ոխ:

Հավանականությունը, որ ալիքը զբաղված է

Օրինակ:Մեկ բենզալցակայանով լիցքավորման լիցքավորման համար մեքենաները ժամանում են ժամում 24 մեքենա ինտենսիվությամբ, իսկ մեկ մեքենայի միջին լիցքավորման ժամանակը 2 րոպե է։ Որոշել գազալցակայանի արդյունավետության ցուցանիշները.

Լուծում` n=1, լ= 24 մեքենա / ժամ, տ= 2 րոպե Գտեք արժեքները լև տունեն տարբեր ժամանակային չափումներ, ուստի մենք փոխակերպում ենք դրանցից մեկը:

լ= 24 ավտոմատ / ժամ = 24 ավտոմատ / 60 րոպե = 0,4 ավտոմատ / րոպե:

Հետո, ա= 0,4 × 2 = 0,8:

Որովհետեւ ա<1, то очередь на заправку не может возрастать бесконечно и предельные вероятности существуют.

1. Բենզալցակայանի անվճար լինելու հավանականությունը հայտնաբերվում է (6.17) բանաձևով. P 0=1–ա = 1–0,8=0,2.

2. Հավանականությունը, որ գազալցակայանը զբաղված է մեքենաները լիցքավորելով, մենք գտնում ենք բանաձևով (6.22). P-ն զբաղված է=ա=0,8.

3. Վառելիքի լիցքավորման սպասող մեքենաների միջին թիվը, այսինքն. Հերթի միջին երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով (6.19).

4. Վառելիքի լիցքավորման սպասման միջին ժամանակը հաշվարկվում է (6.21) բանաձևով.

5. Լցակայանում մեքենաների միջին թիվը հաշվարկվում է (6.18) բանաձևով.

6. Բենզալցակայանում մեքենայի անցկացրած միջին ժամանակը հաշվարկվում է (6.20) բանաձեւով.

Հաշվարկները ցույց են տալիս, որ լցակայանի արդյունավետությունը լավ է։

Անսահմանափակ սպասման ժամանակով QS-ում հաջորդ հարցումը, գտնելով բոլոր սարքերը զբաղված, մտնում է հերթ և սպասում սպասարկմանը, մինչև սարքերից մեկը անվճար լինի:

QS-ն անսահմանափակ հերթով դիտարկելու ալգորիթմ:

Խնդրի ձևակերպում.

Ամենատարածվածը հերթերի անսահմանափակ համակարգերն են։ Դրանք կարելի է բաժանել 2 մեծ խմբի՝ բաց և փակ։ Այս համակարգերը սահմանվում են այնպես, ինչպես սահմանափակ ներգնա հոսք ունեցող համակարգերը:

Փակ համակարգերը ներառում են համակարգեր, որոնցում հարցումների մուտքային հոսքը սահմանափակ է: Օրինակ, վարպետը, ում խնդիրն է մեքենաներ տեղադրել արտադրամասում, պետք է պարբերաբար սպասարկի դրանք: Յուրաքանչյուր ճշգրտված մեքենա ապագայում դառնում է վերակարգավորման պահանջների պոտենցիալ աղբյուր:

Նման համակարգերում շրջանառվող պահանջների ընդհանուր թիվը վերջավոր է և ավելի հաճախ, քան հաստատուն:

Եթե ​​մատակարարման աղբյուրն ունի անսահման թվով պահանջներ, ապա համակարգերը կոչվում են բաց հանգույց: Նման համակարգերի օրինակներ են խանութները, երկաթուղային կայարանների տոմսարկղերը, նավահանգիստները և այլն: Այս համակարգերի համար հարցումների մուտքային հոսքը կարելի է համարել անսահմանափակ:

Այստեղ մենք կդիտարկենք հերթագրման տեսության դասական խնդիրը այն պայմաններում, որում այն ​​դիտարկվել և լուծվել է Կ.Էրլանգի կողմից։ ինտենսիվության պահանջների ամենապարզ հոսքը հասնում է n նույնական սարքերի: Եթե ​​ժամանման պահին կա առնվազն մեկ անվճար սարք, այն անմիջապես սկսում է սպասարկումը։ Եթե ​​բոլոր սարքերը զբաղված են, ապա նոր ժամանած հարցումը հերթագրվում է բոլոր այն հարցումների համար, որոնք ավելի վաղ են հասել և դեռ չեն սկսել սպասարկել: Ազատված սարքն անմիջապես սկսում է սպասարկել հաջորդ հարցումը, եթե հերթ է գոյանում։ Յուրաքանչյուր հարցում սպասարկվում է միայն մեկ սարքի կողմից, և յուրաքանչյուր սարք միաժամանակ սպասարկում է առավելագույնը մեկ հարցում: Ծառայության տեւողությունը պատահական փոփոխական է՝ F (x) հավանականության նույն բաշխմամբ։ Ենթադրվում է, որ x0-ում:

որտեղ հաստատուն է.

Նոր նկարագրված խնդիրը զգալի կիրառական հետաքրքրություն է ներկայացնում, և արդյունքները, որոնց մենք պատրաստվում ենք ծանոթանալ, լայնորեն կիրառվում են գործնական նպատակներով։ Կան չափազանց շատ իրական իրավիճակներ, երբ նման հարցեր են առաջանում: Էրլանգը լուծեց այս խնդիրը՝ նկատի ունենալով մինչ այդ հեռախոսային բիզնեսում ծագած հարցերի ձևակերպումը։

Ծառայության տեւողությունը նկարագրելու բաշխման (1) ընտրությունը պատահական չի կատարվել։ Բանն այն է, որ այս ենթադրության ներքո խնդիրն ընդունում է պարզ լուծում, որը նկարագրում է մեզ հետաքրքրող գործընթացի ընթացքը պրակտիկայի համար բավարար ճշգրտությամբ։ Բաշխումը (1) բացառիկ դեր է խաղում հերթերի տեսության մեջ, որը հիմնականում պայմանավորված է նրա հետևյալ հատկությամբ.

Սպասարկման տևողության էքսպոնենցիալ բաշխմամբ, սպասարկման աշխատանքների մնացորդի տևողության բաշխումը կախված չէ նրանից, թե որքան երկար է այն արդեն տևել:

Իսկապես, նշենք այն ծառայության հավանականությունը, որն արդեն տևում է ա,կտևի ոչ պակաս, քան. Ենթադրելով, որ ծառայության տևողությունը երկրաչափականորեն բաշխված է,

Եվ ինչպես միշտ և

եւ, հետեւաբար

Պահանջվում է ապացուցված:

Անկասկած, իրական իրավիճակում ծառայության ինդիկատիվ ժամանակը, որպես կանոն, ընդամենը մոտավոր մոտարկում է իրականությանը։ Այսպիսով, հաճախ սպասարկման ժամանակը չի կարող պակաս լինել որոշակի արժեքից։ Ենթադրությունը (1) հանգեցնում է նրան, որ պահանջարկի մի զգալի մասի կարիք ունի միայն 0-ին մոտ կարճաժամկետ գործառնություն: Հետագայում մենք բախվում ենք (1) ենթադրությամբ պարտադրված անհարկի սահմանափակումից ազատվելու խնդրին: Սրա անհրաժեշտությունը արդեն պարզ էր անձամբ Էրլանգի համար, և մի շարք աշխատություններում նա ջանքեր գործադրեց ծառայության տևողության համար այլ հաջող բաշխումներ գտնելու համար։ Մասնավորապես, նա առաջարկել է այսպես կոչված Էրլանգ բաշխումը , որի բաշխման խտությունը տրված է բանաձևով

որտեղ > 0, ա կդրական ամբողջ թիվ է:

Էրլանգի բաշխումը k-անկախ անդամների գումարի բաշխումն է, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի բաշխում (1):

Բաշխման դեպքում (1) մենք նշում ենք հաճախորդի սպասարկման ժամանակով: Այնուհետև ծառայության միջին տևողությունը

Այս հավասարությունը մեզ հնարավորություն կտա գնահատել պարամետրը փորձարարական տվյալներից: Հեշտ է հաշվարկել, որ ծառայության տևողության շեղումը կազմում է

Սպասարկման գործընթացը որպես Մարկովյան ստոխաստիկ գործընթաց:

Հաճախորդների հոսքի և ծառայության տևողության վերաբերյալ մեր նշած ենթադրությունների համաձայն, հերթերի տեսության խնդիրները ձեռք են բերում որոշ առանձնահատկություններ, որոնք հեշտացնում են հետազոտությունը: Մենք արդեն նշել ենք հաշվողական պարզությունը: Այժմ նշենք ավելի հիմնարար նկատառում, որը կզարգացնենք ուսումնասիրվող խնդրի առնչությամբ։

Յուրաքանչյուր պահի դիտարկվող համակարգը կարող է լինել հետևյալ վիճակներից որևէ մեկում՝ տվյալ պահին տհամակարգը պարունակում է կպահանջարկ (k = 0, 12, ...): Եթե ​​կրն , ապա համակարգը պարունակում և սպասարկում է k հաճախորդի, իսկ m-k - սարքերն անվճար են: Եթե ​​կմ, ապա m հարցումները սպասարկվում են, իսկ k-m-ը հերթում է և սպասում է ծառայությանը: Նշենք այն վիճակով, երբ համակարգը պարունակում է կպահանջները։ Այսպիսով, համակարգը կարող է լինել նահանգներում .. ... Մենք նշում ենք - հավանականությունը, որ համակարգը տվյալ պահին տկկարողանա .

Ձևակերպենք, թե որն է մեր ուսումնասիրած խնդիրների առանձնահատկությունը արված ենթադրությունների ներքո։ Թող մեր համակարգը ինչ-որ պահի վիճակում լինի։ Ապացուցենք, որ սպասարկման գործընթացի հետագա ընթացքը հավանականության տեսության իմաստով կախված չէ մինչ այդ տեղի ունեցածից. . Իսկապես, ծառայության հետագա ընթացքը լիովին որոշվում է հետևյալ երեք գործոններով.

• · Տվյալ պահին կատարված ծառայությունների ավարտի պահերը.
• · Նոր պահանջների առաջացման պահեր;
• Հետո ստացված սպասարկման հարցումների տևողությունը .

Էքսպոնենցիալ բաշխման առանձնահատկություններից ելնելով` ծառայության մնացած մասի տեւողությունը կախված չէ նրանից, թե ծառայությունն արդեն որքան է տևել մինչև տվյալ պահը: Քանի որ պահանջների հոսքը ամենապարզն է, անցյալը չի ​​ազդում, թե որքան պահանջներ են հայտնվում պահից հետո . Ի վերջո, հետո ի հայտ եկած պահանջների սպասարկման տեւողությունը որեւէ կերպ կախված չէ նրանից, թե ինչ է սպասարկվել և ինչպես է եղել մինչ այժմ։

Հայտնի է, որ պատահական գործընթացները, որոնց հետագա զարգացումը կախված է միայն տվյալ պահին ձեռք բերված վիճակից և կախված չէ նրանից, թե ինչպես է զարգացումը տեղի ունեցել անցյալում, կոչվում են Մարկովյան գործընթացներ կամ առանց հետևանքների գործընթացներ: Այսպիսով, ամենապարզ հոսքի և էքսպոնենցիալ սպասարկման ժամանակի դեպքում ակնկալիք ունեցող համակարգը պատահական Մարկովյան գործընթաց է: Այս հանգամանքը հեշտացնում է հետագա պատճառաբանությունը։

Հավասարումներ կազմելը.

Այժմ խնդիրն է գտնել այն հավասարումները, որոնք բավարարում են հավանականությունները: Հավասարումներից մեկն ակնհայտ է, այն է՝ յուրաքանչյուրի համար տ

Եկեք նախ գտնենք հավանականությունը, որ պահը t . + ժբոլոր տեխնիկան անվճար է։ Դա կարող է տեղի ունենալ հետևյալ եղանակներով.

այդ պահին տբոլոր սարքերը անվճար են եղել և h ժամանակի ընթացքում նոր պահանջներ չեն ստացվել.

այդ պահին տմի սարքը զբաղված էր հարցումների սպասարկումով, մնացած բոլոր սարքերն անվճար են. ընթացքում հՀայցի սպասարկումն ավարտվել է և նոր պահանջներ չեն ստացվել:

Մնացած հնարավորությունները, ինչպիսիք են. երկու-երեք սարքը զբաղված է եղել, և ժամանակի ընթացքում դրանց վրա աշխատանքը ավարտվել է, ունեն o (h) հավանականություն, քանի որ դրանում հեշտ է համոզվել։

Այս իրադարձություններից առաջինի հավանականությունը հետևյալն է

երկրորդ իրադարձության հավանականությունը

Այսպիսով

Այսպիսով, ակնհայտորեն մենք հասնում ենք հավասարմանը

Այժմ անցնենք 1-ի համար հավասարումների ձևակերպմանը: Առանձին-առանձին դիտարկենք երկու տարբեր դեպքեր՝ 1 և. Թող սկզբում 1. Թվարկենք միայն այն էական վիճակները, որոնցից կարելի է հասնել վիճակի t + h պահին: Այս պետությունները հետևյալն են.

Այս պահին համակարգը գտնվում էր վիճակում, h ընթացքում նոր հարցումներ չեն ստացվել և ոչ մի սերվեր չի ավարտել սպասարկումը: Այս իրադարձության հավանականությունը հետևյալն է.

Այս պահին համակարգը գտնվում էր վիճակում, h-ի ընթացքում նոր հարցում էր եկել, սակայն նախկինում տեղակայված հարցումներից և ոչ մեկը չի կատարվել ծառայության կողմից: Այս իրադարձության հավանականությունը

Այս պահին համակարգը գտնվում էր վիճակում, h ընթացքում նոր հարցումներ չեն ստացվել, սակայն սպասարկվել է մեկ հարցում: Սրա հավանականությունն է

h ժամանակային ընդմիջումով վիճակի անցնելու մյուս բոլոր հնարավոր հնարավորությունները ունեն o (h) հավասար հավանականություն։

Գտնված հավանականությունները միասին հավաքելով՝ ստանում ենք հետևյալ հավասարությունը.

Պարզ փոխակերպումները այս հավասարությունից հանգեցնում են 1-ի նման հավասարմանը.

Նմանատիպ պատճառաբանությունը հանգեցնում է հավասարման

Հավանականությունները որոշելու համար ստացվել է (2) - (5) դիֆերենցիալ հավասարումների անսահման համակարգ։ Դրա լուծումը ներկայացնում է անկասկած տեխնիկական դժվարություններ։

Ստացիոնար լուծույթի որոշում.

Հերթի տեսության մեջ միայն կայուն վիճակի լուծումը . Նման լուծումների առկայությունը հաստատվում է այսպես կոչված էրգոդիկ թեորեմներով, որոնցից մի քանիսը կհաստատվեն ավելի ուշ։ Քննարկվող խնդրի մեջ պարզվում է, որ սահմանափակող կամ, ինչպես սովորաբար ասում են, անշարժ հավանականություններ կան։ Եկեք նրանց համար նշենք: Հավելյալ նշենք, որ

ժամը .

Վերոհիշյալը թույլ է տալիս եզրակացնել, որ անշարժ հավանականությունների (3), (4), (5) հավասարումները ունեն հետևյալ ձևը.

Այս հավասարումներին ավելացվում է նորմալացման պայմանը

Ստացված անսահման հանրահաշվական համակարգը լուծելու համար մենք ներկայացնում ենք նշումը.

Այս նշումներում (6) - (8) հավասարումների համակարգը ստանում է հետևյալ ձևը.

Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ բոլորի համար

Հարմարության համար ներկայացնում ենք նշումը

Հավասարումը (10) թույլ է տալիս եզրակացնել, որ

Քանի որ (11)-ից մենք գտնում ենք, որ

և, հետևաբար, համար

Մնում է գտնել: Դրա համար (9)-ում մենք փոխարինում ենք (12) և (13) արտահայտությունները: Որպես արդյունք

քանի որ քառակուսի փակագծերում անսահման գումարը համընկնում է միայն այն դեպքում, եթե

ապա այս ենթադրության ներքո մենք գտնում ենք հավասարությունը

Եթե ​​(14) պայմանը չի բավարարվում, այսինքն. եթե, ապա հավասարման քառակուսի փակագծի շարքը որոշելու համար , շեղվում է և, հետևաբար, պետք է հավասար լինի 0-ի: Բայց այս դեպքում, ինչպես հետևում է (12) և (13) կետերից, ստացվում է բոլորի համար:

Մարկովյան շղթաների տեսության մեթոդները թույլ են տալիս եզրակացնել, որ ժամանակի ընթացքում հերթը հակված է հավանականության:

Բացատրենք ստացված արդյունքը՝ օգտագործելով մի քանի գործնական օրինակներ, որոնք ցույց կտան, որ պրակտիկայում սովորական հաշվարկները, որոնք հիմնված են զուտ թվաբանական նկատառումների վրա, որոնք հաշվի չեն առնում սպասարկման հարցումների ժամանման պատահական տատանումների առանձնահատկությունները, հանգեցնում են լուրջ սխալ հաշվարկների:

Թող բժիշկը ժամանակ ունենա հիվանդին բավարար չափով հետազոտելու և նրա բժշկական պատմությունը միջինը 15 րոպեում լրացնելու համար: Պլանավորող մարմինները սովորաբար սրանից եզրակացնում են. չորս ժամ աշխատանքային օրում բժիշկը պետք է այցելի 16 մարդ: Այնուամենայնիվ, հիվանդները գալիս են պատահական ժամանակներում: Արդյունքում, բժշկի թողունակության նման հաշվարկով նրա մոտ անխուսափելիորեն հերթ է գոյանում, քանի որ երբ հաշվարկն իրականացվում է, այն վերցվում է 1-ի: Նույն եզրակացությունները վերաբերում են նաև հիվանդանոցներում մահճակալների քանակի հաշվարկին. խանութներում դրամարկղերի քանակը, ռեստորաններում մատուցողների թիվը և այլն: Ցավոք, որոշ տնտեսագետներ նույն սխալն են թույլ տալիս քարհանքերում բեռնման սարքավորումները հաշվարկելիս, վերելակներում ընդունողների թիվը, նավահանգիստներում նավամատույցների քանակը և այլն:

Հետևյալի ողջ ընթացքում մենք ենթադրում ենք, որ պայմանը (14) բավարարված է:

Որոշ նախապատրաստական ​​արդյունքներ.

Սպասման հետ կապված առաջադրանքի համար ծառայության որակի հիմնական բնութագիրը ծառայությունը սկսելու խնդրանքի սպասման ժամանակն է: Սպասման ժամանակը պատահական փոփոխական է, որը մենք նշում ենք տառով։ Այժմ դիտարկենք միայն սպասարկման տևողության հավանականության բաշխումը արդեն հաստատված սպասարկման գործընթացում որոշելու խնդիրը: Այնուհետև նշենք սպասման ժամանակը t-ը գերազանցելու հավանականությամբ և փակագծում նշված անհավասարության հավանականությամբ, պայմանով, որ հաճախորդի ժամանման պահին, որի համար հաշվարկված է սպասման ժամանակը, արդեն կան k հաճախորդներ. հերթում. Ընդհանուր հավանականության բանաձևի ուժով մենք ունենք հավասարություն

Նախքան այս բանաձևը օգտագործման համար հարմար ձևի վերածելը, եկեք պատրաստենք որոշ տեղեկություններ, որոնք անհրաժեշտ են հետագա տեղեկատվության համար: Նախ, m = 1 և m = 2 դեպքերի համար մենք գտնում ենք պարզ բանաձևեր . Պարզ փոխակերպումները հանգեցնում են հետևյալ հավասարություններին մ = 1

Այժմ հաշվարկենք հավանականությունը, որ բոլոր սարքերը պատահական պահին զբաղված կլինեն: Ակնհայտ է, որ այս հավանականությունը

m = 1-ի այս բանաձևը ստանում է հատկապես պարզ ձև.

Բանաձևում (19) կարող է վերցնել ցանկացած արժեք 0-ից մինչև մ (բացառապես): Այսպիսով, բանաձևում (20)< 1, а в (21) <2.

Սպասման տևողության բաշխման ֆունկցիայի որոշում:

Եթե ​​հարցումն ստանալու պահին արդեն եղել են k-mպահանջները, ուրեմն, քանի որ սպասարկումը տեղի է ունենում առաջնահերթության կարգով, նոր ժամանած հարցումը պետք է սպասի k-m + 1 պահանջներ. Նշանակենք հավանականությունը, որ տևողության ժամանակային ընդմիջումով տտոկոսների պահանջի ժամանումից հետո ավարտվել է հենց դրա պահանջների սպասարկումը։ Հասկանալի է, որ հանուն հավասարության

Քանի որ ծառայության տևողության բաշխումը ենթադրվում է էքսպոնենցիալ և կախված չէ նրանից, թե քանի հաճախորդ կա հերթում կամ նրանից, թե որքան երկար են սպասարկման ժամկետները այլ հաճախորդների համար, t ժամանակում մեկ ծառայություն չավարտելու հավանականությունը (այսինքն. , հավանականությունը, որ սարքերից ոչ մեկը չի թողարկվի) հավասար է

Եթե ​​բոլոր սերվերները զբաղված են սպասարկումով, և դեռ սպասարկվող հարցումների բավարար հերթ կա, ապա սպասարկվող հարցումների հոսքը կլինի ամենապարզը: Իսկապես, այս դեպքում երեք պայմաններն էլ՝ անշարժություն, հետևանքների բացակայություն և սովորականություն, կատարվում են։ Որոշակի ժամանակահատվածում ազատվելու հավանականությունը տհարթ սսարքերը հավասար են (սա կարելի է ցույց տալ պարզ հաշվարկով)

եւ, հետեւաբար

Բայց հավանականությունները հայտնի են.

Ակնհայտ փոխակերպումներով վերջին հավասարության աջ կողմը բերում ենք ձևի

(18) և (19) բանաձևերից հետևում է, որ, հետևաբար, m0-ի համար

Անհասկանալի է, որ t0-ի համար

Ֆունկցիան ունի դադար t = 1 կետում, որը հավասար է զբաղված բոլոր սարքերը գտնելու հավանականությանը։

Սպասման միջին ժամանակը:

Բանաձևը (22) թույլ է տալիս գտնել հետաքրքրության սպասման ժամանակի բոլոր թվային բնութագրերը: Մասնավորապես, ծառայության մեկնարկի սպասման մաթեմատիկական ակնկալիքը կամ, ինչպես մարդիկ նախընտրում են ասել, սպասման միջին ժամանակը.

Պարզ հաշվարկները հանգեցնում են բանաձևի

Քանակի տարբերությունն է

Բանաձևը (23) տալիս է մեկ հարցման միջին սպասման ժամանակը: Եկեք գտնենք ժամանակի միջին կորուստը այն պահանջներով, որոնք եկել են սպասարկման համակարգին ժամանակային միջակայքում T . T ժամանակահատվածում համակարգը ստանում է պահանջներ և միջինը. նրանց ընդհանուր կորուստը ժամանակի pa սպասման միջին է

Ահա մի քանի փոքր թվաբանական հաշվարկներ, որոնք ցույց են տալիս, թե որքան արագ է սպասման ժամանակի ընդհանուր կորուստը մեծանում արժեքի փոփոխության հետ: Այս դեպքում մենք մեզ սահմանափակում ենք T = 1 դեպքով և հաշվի ենք առնում միայն ամենափոքր արժեքները t: t= 1 և t = 2.

ժամը Տ= 1 (20)-ի ուժով

Երբ p = 0.1; 0.3; 0,5; 0.9 արժեքը ամոտավորապես հավասար է 0,011; 0,267; 0,500; 1.633; 8100.

m = 2-ի համար (24)-ի ուժով

At = 0.1; 1.0; 1,5; 1.9 արժեքը ամոտավորապես հավասար է 00003; 0,333; 1,350; 17.537.

Ներկայացված տվյալները ցույց են տալիս բեռնվածքի ավելացման նկատմամբ արդեն իսկ մեծ բեռնված սպասարկման համակարգերի համեմատաբար բարձր զգայունության հայտնի փաստը: Միաժամանակ սպառողը անմիջապես զգում է սպասման ժամանակի զգալի աճ։ Այս հանգամանքը պետք է հաշվի առնել հերթագրման համակարգերում սարքավորումների ծանրաբեռնվածությունը հաշվարկելիս:

Սպասման համակարգեր անսահմանափակ մուտքային տրաֆիկով

Հաշվարկման բանաձևեր
Հավանականությունը, որ բոլոր ալիքներն անվճար են

Զբաղված սյունակների միջին քանակը.
N zan = n-N 0 = 2- (2 p 0 + 1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 = 1,6
Բենզալցակայանում հերթ չտալու հավանականությունը.

Հավանականությունը, որ դուք պետք է սպասեք ծառայության մեկնարկին, հավասար է այն հավանականությանը, որ բոլոր սյունակները զբաղված են.
p 0 + p 1 + p 2 = 0,1111 + 0,1778 + 0,1422 = 0,4311
Հերթում գտնվող մեքենաների միջին քանակը.

• Ս 0 - ալիքն անվճար է;
• Ս 1 - ալիքը զբաղված է;
• Ս 2 - ալիքը զբաղված է, մեկ հարցում հերթում է.
• Սկ- ալիքը զբաղված է, (k – 1) հաճախորդներ հերթում.
• Սմ+ 1 - ալիքը զբաղված է, հերթում մհավելվածներ։

Բրինձ. 25
Օգտագործելով Էրլանգի բանաձևերը, մենք գտնում ենք իրադարձությունների հավանականությունը, որ QS-ը գտնվում է վիճակում Ս 1 , Ս 2 , …, Ս m + 1:
(28)

Ավելին, հավանականությունը, որ հաճախորդը ժամանում է համակարգ, այն կգտնի անվճար
. (29)
Պահանջների ժամանման λ փոխարժեքի հարաբերակցությունը պահանջների սպասարկման դրույքաչափին μ է նվազեցված դրույքաչափը μ, այսինքն.

ρ=λ/μ
Եկեք փոխարինենք λ / μm և ρ հարաբերակցությունը (28) և (29) բանաձևերում, այնուհետև արտահայտությունները ստանում են ձև.

(30)
Հավանականություն Ռ 0-ը կհաշվարկվի հետևյալ բանաձևով.
p 0 = -1: (31)
Արտահայտություն հավանականության համար Պ 0-ը երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի գումարը կլինի

.
Այսպիսով, (30) և (31) բանաձևերը հնարավորություն են տալիս որոշել ցանկացած իրադարձության հավանականությունը, որը կարող է տեղի ունենալ համակարգում, այսինքն՝ որոշել համակարգի ցանկացած վիճակում գտնվելու հավանականությունը:
Formula for Պ 0-ը վավեր է այն դեպքում, երբ ρ ≠ 1: Այն դեպքում, երբ ρ = 1, այսինքն՝ պահանջների ժամանման տոկոսադրույքը հավասար է դրանց սպասարկման արագությանը, համակարգի անվճար լինելու հավանականությունը հաշվարկելու համար օգտագործվում է մեկ այլ բանաձև.

,
որտեղ m-ը հերթում գտնվող հաճախորդների թիվն է:

Մենք սահմանում ենք մեկ ալիք QS-ի արդյունավետության բնութագրերը:

• հավանականությունը, որ համակարգ ժամանող հաջորդ դիմումը կմերժվի Ռբաց;
• բացարձակ թողունակություն Ա,
• հարաբերական թողունակություն Ք,
• զբաղված ալիքների քանակը k,
• հաճախորդների միջին թիվը հերթում r,
• QS-ի հետ կապված դիմումների միջին թիվը, z.

Համակարգ ժամանած հաջորդ հաճախորդը մերժվում է, եթե ալիքը զբաղված է, այսինքն՝ սպասարկվում է մեկ այլ հաճախորդ, և բոլորը մհերթի տեղերը նույնպես զբաղված են։ ապա այս իրադարձության հավանականությունը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.

. (32)
Հավանականությունը, որ հավելվածը կժամանի համակարգ և կա՛մ անմիջապես կսպասարկվի, կա՛մ հերթում տեղեր կլինեն, այսինքն՝ հարաբերական թողունակությունը, կարելի է գտնել բանաձևով.

. (33)
Հարցումների միջին թիվը, որոնք կարող են սպասարկվել մեկ միավորի համար, այսինքն՝ բացարձակ թողունակությունը, հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

A = Q λ (34)
Այսպիսով, օգտագործելով (32), (33), (34) բանաձևերը, կարող եք հաշվարկել կատարողականի հիմնական ցուցանիշները ցանկացած հերթագրման համակարգի համար: Այժմ մենք կբերենք արտահայտություններ միայն այս QS-ին բնորոշ բնութագրերը հաշվարկելու համար:
R հերթում հարցումների միջին թիվը սահմանվում է որպես դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք, որտեղ Ռ- հերթում առկա հայտերի քանակը:
♦ Ռ 2-ը սպասարկման հերթում մեկ հաճախորդ լինելու հավանականությունն է.
♦ Ռ 3 - հավանականությունը, որ հերթում երկու դիմում կա.
♦ Ռկ- հերթում առկա (k – 1) հաճախորդ լինելու հավանականությունը.
♦ Ռմ+ 1-ը հավանականությունն է, որ հերթում կան m հաճախորդներ:
Այնուհետև հերթում ներկայացված դիմումների միջին թիվը կարելի է հաշվարկել հետևյալ կերպ.
r = 1 P 2 + 2 P 3 + ... + (k-1) P k + ... + m P m + 1: (35)
Եկեք (35) բանաձևում փոխարինենք (30) բանաձևով հաշվարկված հավանականությունների նախկինում գտնված արժեքները.
r = 1 ρ 2 p 0 + 2 ρ 3 p 0 + ... + (k-1) ρ k p 0 + ... + m ρ m + 1 p 0: (35)
Եկեք հանենք հավանականությունը Պ 0 և Ռ 2, այնուհետև մենք ստանում ենք սպասարկման հերթում հարցումների միջին քանակի հաշվարկման վերջնական բանաձևը.
r = ρ 2 p 0 (1 + 2 ρ + ... + (k-1) ρ k-2 + ... + m ρ m-1)
Եկեք դուրս բերենք QS, z-ի հետ կապված հարցումների միջին քանակի բանաձև, այսինքն՝ սպասարկվող հերթում առկա հարցումների քանակը: Եկեք դիտարկենք QS-ի հետ կապված հարցումների ընդհանուր թիվը, z՝ որպես r հերթում հարցումների միջին քանակի երկու արժեքների և k զբաղված ալիքների քանակի գումար:

z = r + k.
Քանի որ կա միայն մեկ ալիք, զբաղեցրած ալիքների թիվը k կարող է ընդունել 0 կամ 1 արժեքներ: Հավանականությունը, որ k = 0, այսինքն. համակարգը ազատ է, համապատասխանում է P 0 հավանականությանը, որի արժեքը կարելի է գտնել բանաձևով (31): Եթե ​​k = 1, այսինքն. ալիքը զբաղված է հարցումը սպասարկելով, բայց հերթում դեռ տեղեր կան, ապա այս իրադարձության հավանականությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

.
Հետևաբար, z-ը հավասար կլինի.

. (37)

Մեկ ալիք CMO սպասմամբ

Մեկ ալիք համակարգ՝ անսահմանափակ հերթով

Վիճակների սահմանափակող հավանականությունները որոշելու համար մենք կօգտագործենք (16), (17) բանաձևերը մահվան և վերարտադրության գործընթացի համար (այստեղ մենք ենթադրում ենք որոշակի թուլություն, քանի որ այս բանաձևերը նախկինում ստացվել են վերջավոր թվով վիճակների դեպքում. համակարգը). Մենք ստանում ենք (32)
Քանի որ սահմանափակող հավանականությունները գոյություն ունեն միայն ρ-ի համար< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 = 1-ρ, (33)
և հաշվի առնելով հարաբերությունները (17)
p 1 = ρ · p 0; p 2 = ρ 2 · p 0; ...; p k = ρ k p 0; ...
գտնել այլ վիճակների սահմանափակող հավանականությունները
p 1 = ρ · (1-ρ); p 2 = ρ 2 · (1-ρ); ...; p k = ρ k (1-ρ); ... (34)
Սահմանափակող հավանականությունները p 0, p 1, p 2,…, p k,… կազմում են նվազող երկրաչափական մասնագիտություն p հայտարարով:< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Համակարգի L համակարգում հայտերի միջին թիվը: կորոշվի մաթեմատիկական ակնկալիքների բանաձևով, որը, հաշվի առնելով (34) ձևը
(35)
(1-ից մինչև ∞ գումարում, քանի որ զրոյական տերմինը 0 · p 0 = 0 է):
Կարելի է ցույց տալ, որ (35) բանաձևը փոխակերպում է (ρ< 1) к виду
(36)
Գտնենք L och հերթում հայտերի միջին թիվը։ Ակնհայտ է, որ
L och = L համակարգ -L մոտ (37)
որտեղ L vol. սպասարկվող հայտերի միջին թիվն է:
Սպասարկման ենթակա պահանջների միջին թիվը որոշվում է սպասարկման ենթակա պահանջների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքի բանաձևով, որն ընդունում է 0 (եթե ալիքն անվճար է) կամ 1 (եթե ալիքը զբաղված է) արժեքները.
L och = 0 p 0 + 1 (1-p 0)
դրանք. սպասարկման ենթակա պահանջների միջին թիվը հավասար է ալիքի զբաղված լինելու հավանականությանը.
L och = P zan = 1-p 0, (38)
(33) ուժով
L och = P zan ρ, (39)
Այժմ, համաձայն (37) բանաձևի, հաշվի առնելով (36) և (39)
(40)
Ապացուցված է, որ Պահանջների հոսքի ցանկացած բնույթի, ծառայության ժամանակի ցանկացած բաշխման, ծառայության ցանկացած կարգապահության համար պահանջի միջին ժամանակը համակարգում (հերթում) հավասար է համակարգի պահանջների միջին թվին (հերթում) բաժանված պահանջների հոսքի ինտենսիվությամբ,դրանք.
(41)
(42)
Բանաձևերը (41) և (42) կոչվում են Լիթլի բանաձեւերը.Նրանք բխում են այն փաստից, որ Սահմանափակող, անշարժ ռեժիմում համակարգ ժամանող պահանջների միջին թիվը հավասար է այն դուրս եկող պահանջների միջին թվին.հարցումների երկու հոսքերն էլ ունեն նույն ինտենսիվությունը λ.
Ելնելով (41) և (42) բանաձևերից, հաշվի առնելով (36) և (40) հայտի միջին բնակության ժամանակը համակարգում որոշվում է բանաձևով.
(43)
և միջին ժամանակը, երբ դիմումը գտնվում է հերթում
(44)

Մեկ ալիք CMO-ն՝ սպասելով առանց սպասող միավորի հզորության սահմանափակման

Օրինակ 3.3.Հիշենք օրինակ 3.2-ում դիտարկված իրավիճակը, որտեղ խոսքը ախտորոշիչ փոստի աշխատանքի մասին է: Թող քննարկվող դիագնոստիկ պոստը ունենա անսահմանափակ թվով կայանատեղեր սպասարկման ժամանող մեքենաների համար, այսինքն՝ հերթի երկարությունը սահմանափակված չէ։
Պահանջվում է որոշել հետևյալ հավանականական բնութագրերի վերջնական արժեքները.

• համակարգի վիճակների հավանականությունները (ախտորոշիչ գրառում);
• համակարգում մեքենաների միջին թիվը (սպասարկման և հերթում);
• մեքենան համակարգում գտնվելու միջին տևողությունը (սպասարկման և հերթում);
• սպասարկման հերթում մեքենաների միջին թիվը.
• մեքենան հերթում մնալու միջին տևողությունը.

Լուծում
1. Սպասարկման հոսքի պարամետրը m և փոխադրամիջոցի նվազեցված հոսքի արագությունը p սահմանված են օրինակ 3.2-ում.
մ = 0,952; p = 0,893:
2. Համակարգի սահմանափակող հավանականությունները հաշվարկենք բանաձևերով
P 0 = 1-ρ = 1-0,893 = 0,107
P 1 = (1-ρ) ρ = (1-0,893) 0,893 = 0,096
P 2 = (1-ρ) ρ 2 = (1-0,893) 2 0,893 = 0,085
P 3 = (1-ρ) ρ 3 = (1-0,893) 3 0,893 = 0,076
P 4 = (1-ρ) ρ 4 = (1-0,893) 4 0,893 = 0,068
P 5 = (1-ρ) ρ 5 = (1-0,893) 5 0,893 = 0,061
և այլն:
Հարկ է նշել, որ P about-ը որոշում է այն ժամանակի համամասնությունը, որի ընթացքում ախտորոշիչ գրառումը ստիպված է լինում պարապ մնալ (անգործուն): Մեր օրինակում այն ​​կազմում է 10,7%, քանի որ P-ի մասին= 0,107.
3. Համակարգում մեքենաների միջին թիվը (սպասարկում և հերթում).
4. Համակարգում հաճախորդի գտնվելու միջին տևողությունը.

Տ= լ Պ Ն

Մեր օրինակում, N = 3 + 1 = 4 և p = 0,893,
m = l P մոտ p 4 = 0,85 0,248 0,8934 0,134 մեքենա ժամում:
Ախտորոշիչ կետի 12-ժամյա աշխատանքի ռեժիմով դա համարժեք է այն փաստին, որ ախտորոշիչ կետը միջին հաշվով մեկ հերթափոխի (օրվա) ընթացքում կկորցնի 12 · 0,134 = 1,6 մեքենա:
Հերթի երկարության սահմանափակումը հեռացնելը մեզ թույլ է տալիս մեր օրինակում ավելացնել սպասարկվող հաճախորդների թիվը միջինը 1,6 մեքենայով մեկ հերթափոխի համար (12 ժամ աշխատանք) դիագնոստիկ պաշտոնում: Հասկանալի է, որ դիագնոստիկ կետ ժամանող մեքենաների կայանատեղիի ընդլայնման որոշումը պետք է հիմնված լինի տնտեսական վնասի գնահատման վրա, որն առաջացել է այս մեքենաների համար ընդամենը երեք կայանատեղի ունեցող հաճախորդների կորստից:

Բազմալիքային CMO անսահմանափակ հերթով

Համակարգը կարող է լինել S 0, S 1, S 2,…, S k,…, S n,… վիճակներից մեկում, - համարակալված է QS-ում հարցումների քանակով. S 0 - հարցումներ չկան: համակարգ (բոլոր ալիքներն անվճար են); S 1 - մեկ ալիքը զբաղված է, մնացածը անվճար; S 2 - երկու ալիքները զբաղված են, մնացածը անվճար, ..., S k - k ալիքները զբաղված են, մնացածը անվճար են, ..., S n - բոլոր n ալիքները զբաղված են (հերթ չկա); S n + 1 - բոլոր n ալիքները զբաղված են, հերթում կա մեկ հաճախորդ; ..., S n + r - բոլորը nալիքներ, rդիմումները հերթում են, ....

Համակարգի վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 9. Նկատի ունեցեք, որ, ի տարբերություն նախորդ QS-ի, ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը (համակարգը մի վիճակից մյուսը աջից ձախ տեղափոխելը) հաստատուն չի մնում, և քանի որ QS-ում հարցումների թիվը 0-ից n-ի է աճում, այն մեծանում է m-ից մինչև nm, քանի որ սպասարկման ալիքների թիվը համապատասխանաբար մեծանում է: Երբ QS-ում հարցումների թիվը n-ից մեծ է, ծառայության հոսքի ինտենսիվությունը մնում է nm-ի:

հերթում հայտերի միջին քանակը
, (50)
հարցումների միջին թիվը համակարգում
L համակարգ = L och + ρ, (51)
Հերթում հայտի միջին բնակության ժամանակը և համակարգում դիմումի միջին բնակության ժամանակը, ինչպես նախկինում, հայտնաբերվում են Լիթլի (42) և (41) բանաձևերով:
Մեկնաբանություն. R-ում անսահմանափակ հերթով QS-ի համար< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Ք= 1, իսկ բացարձակ թողունակությունը հավասար է դիմումների մուտքային հոսքի ինտենսիվությանը, այսինքն. Ա= լ.

QS սահմանափակ հերթով

Նման համակարգերի ամենապարզ մաթեմատիկական մոդելներում ենթադրվում է, որ պահանջը կարող է հերթագրվել պատահական ժամանակի համար, որը բաշխված է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի որոշ պարամետրով υ, այսինքն. մենք կարող ենք պայմանականորեն ենթադրել, որ սպասարկման հերթում գտնվող յուրաքանչյուր հաճախորդ կարող է լքել համակարգը υ ինտենսիվությամբ:
Սահմանափակ ժամանակով QS-ի արդյունավետության համապատասխան ցուցանիշները ստացվում են մահվան և վերարտադրության գործընթացի համար ստացված արդյունքների հիման վրա։

Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ գործնականում հաճախ կան փակ օղակի սպասարկման համակարգեր, որոնց համար հարցումների մուտքային հոսքը էապես կախված է հենց QS-ի վիճակից: Որպես օրինակ կարող ենք բերել այն իրավիճակը, երբ որոշ մեքենաներ շահագործման վայրերից հասնում են վերանորոգման բազա. պարզ է, որ որքան շատ մեքենաներ լինեն վերանորոգման վիճակում, այնքան քիչ են դրանք շարունակում աշխատել և այնքան քիչ է հոսքը: վերանորոգման համար նոր մատակարարված մեքենաների տոկոսադրույքը. Փակ QS-ը բնութագրվում է պահանջների սահմանափակ թվով աղբյուրներով, և յուրաքանչյուր աղբյուր «արգելափակված է» իր պահանջի սպասարկման տևողության համար (այսինքն, այն չի ներկայացնում նոր պահանջներ): Նման համակարգերում, QS-ի սահմանափակ թվով վիճակների համար, սահմանափակող հավանականությունները գոյություն կունենան հարցումների և ծառայությունների հոսքերի ինտենսիվության ցանկացած արժեքի համար: Դրանք կարելի է հաշվարկել, եթե նորից դիմենք մահվան և վերարտադրության գործընթացին։