Sisteme de așteptare cu cozi nelimitate. QS cu așteptare (coadă) Sistem cu un singur canal cu coadă limitată

ÎN activitati comerciale Sistemele de coadă cu așteptare (așteptare) sunt mai frecvente.

Să luăm în considerare un simplu QS cu un singur canal cu coadă limitată, în care numărul de locuri din coada m este o valoare fixă. În consecință, o aplicație primită într-un moment în care toate locurile din coadă sunt ocupate nu este acceptată pentru service, nu se înscrie în coadă și părăsește sistemul.

Graficul acestui QS este prezentat în Fig. 3.4 și coincide cu graficul din fig. 2.1 descriind procesul „naștere-moarte”, cu diferența că în prezența unui singur canal.

Graficul etichetat al procesului de serviciu „naștere - moarte” toate intensitățile fluxurilor de servicii sunt egale

Stările QS pot fi reprezentate după cum urmează:

S0 - canalul de servicii este gratuit,

S, - canalul de servicii este ocupat, dar nu există coadă,

S2 - canalul de serviciu este ocupat, există o solicitare în coadă,

S3 - canalul de serviciu este ocupat, există două solicitări în coadă,

Sm+1 - canalul de serviciu este ocupat, toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, orice cerere ulterioară este respinsă.

Pentru a descrie procesul QS aleatoriu, puteți utiliza regulile și formulele menționate anterior. Să scriem expresii care determină probabilitățile limită ale stărilor:

Expresia pentru p0 în acest caz poate fi scrisă mai simplu, folosind faptul că numitorul conține o progresie geometrică relativ la p, apoi după transformări corespunzătoare obținem:

c= (1-s)

Această formulă este valabilă pentru toate p, altele decât 1, dar dacă p = 1, atunci p0 = 1/(m + 2), iar toate celelalte probabilități sunt, de asemenea, egale cu 1/(m + 2).

Dacă presupunem m = 0, atunci trecem de la considerarea unui QS cu un singur canal cu așteptare la QS deja considerat cu un singur canal cu refuzuri de serviciu.

Într-adevăr, expresia probabilității marginale p0 în cazul m = 0 are forma:

po = m / (l+m)

Și în cazul l = m are valoarea p0 = 1 / 2.

Să determinăm principalele caracteristici ale unui QS cu un singur canal cu așteptare: debit relativ și absolut, probabilitatea de eșec, precum și lungimea medie a cozii și timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă.

O aplicație este respinsă dacă ajunge într-un moment în care QS-ul este deja în starea Sm+1 și, prin urmare, toate locurile din coadă sunt ocupate și un canal deservește

Prin urmare, probabilitatea de eșec este determinată de probabilitatea de apariție

Sm+1 afirmă:

Ptk = pm+1 = сm+1 * p0

Debitul relativ, sau proporția de cereri deservite care sosesc pe unitatea de timp, este determinată de expresie

Q = 1- rotk = 1- cm+1 * p0

debitul absolut este:

Numărul mediu de aplicații L din coada de serviciu este determinat de așteptarea matematică a variabilei aleatoare k - numărul de aplicații din coadă

Variabila aleatorie k ia doar următoarele valori întregi:

• 1 - există o aplicație în coadă,
• 2 - există două aplicații în coadă,

t-toate locurile din coada sunt ocupate

Probabilitățile acestor valori sunt determinate de probabilitățile corespunzătoare de stări, începând cu starea S2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete k este prezentată după cum urmează:

Tabelul 1. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

Aşteptare această variabilă aleatorie este egală cu:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

În cazul general, pentru p ? 1, această sumă poate fi transformată, folosind modele de progresie geometrică, într-o formă mai convenabilă:

Loch = p2 * 1-pm * (l-m*p+1)* p0

În cazul special când p = 1, când toate probabilitățile pk sunt egale, puteți folosi expresia pentru suma termenilor seriei numerice

1+2+3+ m = m(m+1)

Apoi obținem formula

L"och= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Folosind raționamente și transformări similare, se poate demonstra că timpul mediu de așteptare pentru deservirea unei cereri într-o coadă este determinat de formulele lui Little.

Punctul = Loch/A (la p? 1) și T1och= L"och/A (la p = 1).

Acest rezultat, când se dovedește că Toc ~ 1/l, poate părea ciudat: odată cu creșterea intensității fluxului de aplicații, lungimea cozii pare să crească, iar timpul mediu de așteptare scade. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, în primul rând, valoarea lui Loch este o funcție de l și m și, în al doilea rând, QS-ul luat în considerare are o lungime limitată a cozii de cel mult m aplicații.

O aplicație primită de QS într-un moment în care toate canalele sunt ocupate este respinsă și, prin urmare, timpul său de „așteptare” în QS este zero. Acest lucru duce în cazul general (pentru p? 1) la o scădere a Tochromost l, deoarece ponderea unor astfel de solicitări crește odată cu creșterea l.

Dacă renunțăm la restricția privind lungimea cozii, i.e. direct m--> >?, apoi cazurile p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Când k este suficient de mare, probabilitatea pk tinde spre zero. Prin urmare, debitul relativ va fi Q = 1, iar debitul absolut va fi egal cu A --l Q -- l Prin urmare, toate cererile primite sunt deservite, iar lungimea medie a cozii va fi egală cu:

Loch = p2 1-p

și timpul mediu de așteptare conform formulei lui Little

Punctul = Loch/A

În limita p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Probabilitățile limită ale stărilor nu pot fi deci determinate: pentru Q = 1 ele sunt egale cu zero. De fapt, QS-ul nu își îndeplinește funcțiile, deoarece nu este capabil să deservească toate aplicațiile primite.

Nu este dificil să se determine că ponderea aplicațiilor deservite și, respectiv, debitul absolut, sunt în medie c și m, cu toate acestea, o creștere nelimitată a cozii de așteptare și, prin urmare, timpul de așteptare în ea duce la faptul că, după unele timp aplicațiile încep să se acumuleze în coadă pentru un timp nedefinit.

Ca una dintre caracteristicile QS, se utilizează timpul mediu Tsmo al șederii unei aplicații în QS, inclusiv timpul mediu petrecut în coadă și timpul mediu de service. Această valoare este calculată folosind formulele lui Little: dacă lungimea cozii este limitată, numărul mediu de aplicații din coadă este egal cu:

Lsmo= m+1;2

Tsmo= Lsmo; la p?1

Și apoi timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem la coadă(atât în ​​coadă, cât și în serviciu) este egal cu:

Tsmo= m+1 la p ?1 2m

În practică, destul de des există servicii medicale cu un singur canal cu o coadă (un medic care deservește pacienții; un telefon public cu o singură cabină; un computer care îndeplinește comenzile utilizatorilor). În teoria stării de așteptare, QS-ul cu un singur canal cu o coadă ocupă de asemenea un loc special (majoritatea formulelor analitice obținute până acum pentru sistemele non-Markov aparțin unui astfel de QS). Prin urmare, vom acorda o atenție deosebită QS-ului cu un singur canal cu o coadă.

Să existe un QS cu un singur canal cu o coadă la care nu se impun restricții (nici asupra lungimii cozii, nici asupra timpului de așteptare). Acest QS primește un flux de aplicații cu intensitatea X; fluxul de servicii are o intensitate inversă timpului mediu de deservire a unei cereri. Este necesar să se găsească probabilitățile finale ale stărilor QS, precum și caracteristicile eficacității acesteia:

Numărul mediu de aplicații în sistem,

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem,

Numărul mediu de aplicații în coadă,

Timpul mediu pe care o aplicație îl petrece în coadă,

Probabilitatea ca canalul să fie ocupat (încărcarea canalului).

În ceea ce privește debitul absolut A și Q relativ, nu este nevoie să le calculați: datorită faptului că coada este nelimitată, fiecare solicitare va fi deservită mai devreme sau mai târziu, deci din același motiv

Soluţie. Ca și înainte, vom numerota stările sistemului în funcție de numărul de aplicații din QS:

Canalul este gratuit

Canalul este ocupat (deservește o solicitare), nu există coadă,

Canalul este ocupat, o solicitare este în coadă,

Canalul este ocupat, aplicațiile sunt în coadă,

Teoretic, numărul de stări este nelimitat (infinit). Graficul de stare are forma prezentată în Fig. 20.2. Aceasta este o schemă de moarte și reproducere, dar cu un număr infinit de stări. De-a lungul tuturor săgeților, un flux de solicitări cu intensitate A mută sistemul de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga - un flux de servicii cu intensitate

În primul rând, să ne întrebăm, există probabilități finale în acest caz? La urma urmei, numărul de stări ale sistemului este infinit și, în principiu, coada poate crește fără limită! Da, așa este: probabilitățile finale pentru un astfel de QS nu există întotdeauna, ci doar atunci când sistemul nu este supraîncărcat. Se poate dovedi că dacă este strict mai mică de unu, atunci probabilitățile finale există, iar atunci când coada la crește fără limită. Acest fapt pare mai ales „de neînțeles” atunci când s-ar părea că nu sunt impuse cerințe imposibile sistemului: în timpul deservirii unei aplicații, ajunge în medie o aplicație și totul ar trebui să fie în ordine, dar în realitate nu este așa.

Cu QS, face față fluxului de solicitări doar dacă acest flux este regulat, iar timpul de serviciu nu este, de asemenea, aleatoriu, egal cu intervalul dintre solicitări. În acest caz „ideal”, nu va exista deloc coadă, canalul va fi continuu ocupat și va emite în mod regulat solicitări deservite. Dar de îndată ce fluxul de aplicații sau fluxul de servicii devine chiar puțin aleatoriu, coada va crește la infinit. În practică, acest lucru nu se întâmplă doar pentru că „un număr infinit de aplicații în coadă” este o abstractizare. Acestea sunt erorile grosolane care pot rezulta din înlocuirea variabilelor aleatoare cu așteptările lor matematice!

Dar să revenim la QS-ul nostru cu un singur canal cu o coadă nelimitată. Strict vorbind, formulele pentru probabilitățile finale în schema morții și reproducerii am derivat doar pentru cazul unui număr finit de stări, dar să ne luăm libertatea de a le folosi pentru un număr infinit de stări. Să calculăm probabilitățile finale ale stărilor folosind formulele (19.8), (19.7). În cazul nostru, numărul de termeni din formula (19.8) va fi infinit. Obținem o expresie pentru

Seria din formula (20.11) este o progresie geometrică. Știm că seria converge - este o progresie geometrică infinit descrescătoare cu un numitor . La , seria diverge (care este o dovadă indirectă, deși nu strictă, că probabilitățile finale ale stărilor există doar la ). Acum să presupunem că această condiție este îndeplinită și însumând progresia în (20.11), avem

(20.12)

Probabilitățile se găsesc folosind formulele:

de unde, ținând cont de (20.12), găsim în final:

După cum puteți vedea, probabilitățile formează o progresie geometrică cu numitorul . Destul de ciudat, maximul dintre ele este probabilitatea ca canalul să fie liber. Indiferent cât de încărcat este un sistem cu o coadă, dacă poate face față fluxului de aplicații, cel mai probabil numărul de aplicații din sistem va fi 0.

Să găsim numărul mediu de aplicații către CMO. Aici va trebui să mânuiești puțin. Variabila aleatoare Z - numărul de aplicații din sistem - are valori posibile cu probabilități

Așteptările sale matematice sunt

(20.14)

(suma nu se ia de la 0 la, ci de la 1 la, deoarece termenul zero este egal cu zero).

Să substituim în formula (20.14) expresia pentru

Acum să scoatem semnul sumei:

Aici vom folosi din nou un „mic truc”: ​​nu există nimic mai mult decât derivatul porului din expresia înseamnă,

Inversand operatiile de diferentiere si insumare obtinem:

Dar suma din formula (20.15) nu este altceva decât suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen și numitorul; această sumă este egală cu și derivata ei. Înlocuind această expresie în (20.15), obținem:

(20.16)

Ei bine, acum să aplicăm formula lui Little (19.12) și să găsim timpul mediu în care o aplicație rămâne în sistem:

Să găsim numărul mediu de aplicații din coadă Vom raționa astfel: numărul de aplicații din coadă este egal cu numărul de aplicații din sistem minus numărul de aplicații aflate în serviciu. Aceasta înseamnă (conform regulii de adăugare a așteptărilor matematice), numărul mediu de aplicații din coadă este egal cu numărul mediu de aplicații din sistem minus numărul mediu de aplicații aflate în serviciu. Numărul de solicitări în serviciu poate fi fie zero (dacă canalul este liber), fie unul (dacă este ocupat). Așteptarea matematică a unei astfel de variabile aleatoare este egală cu probabilitatea ca canalul să fie ocupat (l-am notat ). Evident, este egal cu unu minus probabilitatea ca canalul să fie liber;

Prin urmare, numărul mediu de cereri aflate în deservire este

Să luăm acum în considerare un QS cu un singur canal cu așteptare.

Sistemul de așteptare are un singur canal. Flux de intrare fluxul de cereri de serviciu are o intensitate λ. Intensitatea fluxului de servicii este μ (adică, în medie, un canal ocupat continuu va emite μ cereri deservite). Durata serviciului este o variabilă aleatorie supusă legii distribuției exponențiale. O solicitare primită când canalul este ocupat este pusă în coadă și așteaptă serviciul.

Luați în considerare un sistem cu coadă limitată. Să presupunem că, indiferent câte solicitări ajung la intrarea sistemului de servire, acest sistem (coada + clienții serviți) nu poate găzdui mai mult de N-cerințe (aplicații), dintre care una este deservită și ( N-1) sunt în așteptare Clienții care nu sunt incluși în perioada de așteptare sunt forțați să fie serviți în altă parte și astfel de cereri se pierd.

Să notăm probabilitatea pe care sistemul o conține n aplicatii. Această valoare se calculează cu formula:

Aici este intensitatea redusă a fluxului. Atunci probabilitatea ca canalul de servicii să fie liber și să nu existe un singur client în sistem este egală cu: .

Ținând cont de acest lucru, putem denota

Să definim caracteristicile unui QS cu un singur canal cu așteptare și o lungime limitată a cozii egală cu (N-1):

probabilitatea refuzului de a deservi o cerere:

capacitatea relativă a sistemului:

debit absolut:

O=q∙λ;

numărul mediu de aplicații în sistem:

Timpul mediu de păstrare a unei aplicații în sistem:

;

durata medie a șederii unui client (aplicație) în coadă:

W q=W s- 1/μ;

numărul mediu de aplicații (clienți) în coadă (lungimea cozii):

Lq=λ(1- P N)W q.

Să luăm în considerare un exemplu de QS cu un singur canal cu așteptare.

Exemplul 9.2. Mașinile intră în zona de control vamal la punctul de control folosind un sistem electronic de coadă. Fiecare fereastră de sosire/plecare este un QS cu un singur canal. Numărul de parcări pentru mașinile care așteaptă înregistrarea este limitat și egal cu 3, adică ( N-1)=3. Dacă toate parcările sunt ocupate, adică există deja trei mașini în coadă, atunci următoarea mașină nu va fi permisă să intre în zona de control vamal, de exemplu. Nu există coadă pentru service. Fluxul de mașini care sosesc pentru înmatriculare este intens λ =0,85 (vehicule pe oră). Timpul de înmatriculare a unui autoturism este distribuit conform unei legi exponențiale și este în medie = 1,05 ore. Este necesar să se determine caracteristicile probabilistice ale ferestrei de înregistrare a sosirii/plecării la un punct de control care funcționează în mod staționar.

Soluţie.

Intensitatea fluxului de service al vehiculului:

.

Intensitatea redusă a fluxului de trafic este definită ca raportul dintre intensitățile λ și μ, adică.

.

Să calculăm probabilitățile de a găsi n aplicatii in sistem:

;

P 1 =ρ∙ P 0 =0,893∙0,248=0,221;

P 2 =ρ 2 ∙ P 0 =0,893 2 ∙0,248=0,198;

P 3 =ρ 3 ∙ P 0 =0,893 3 ∙0,248=0,177;

P 4 =ρ 4 ∙ P 0 =0,893 4 ∙0,248=0,158.

Probabilitatea defecțiunii service-ului auto:

P deschis=R 4 = ρ 4 ∙ P 0 ≈0,158.

Lățimea de bandă relativă a ferestrei de proiectare:

q=1–P deschis=1-0,158=0,842.

Debitul absolut al ferestrei de proiectare

O=λ∙ q=0,85∙0,842=0,716 (vehicule pe oră).

Numărul mediu de mașini deservite și aflate la coadă (adică în sistemul de așteptare):

.

Timpul mediu pe care o mașină rămâne în sistem:

ore.

Perioada medie de timp în care o solicitare rămâne în coadă pentru serviciu:

W q=W s-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 ore.

Numărul mediu de aplicații în coadă (lungimea cozii):

L q =λ∙(1-P N)∙W q = 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

Performanța ferestrei de înregistrare considerată poate fi considerată satisfăcătoare, deoarece în medie 15,8% din cazuri nu sunt deservite ( R deschis=0,158).

Sisteme de așteptare cu flux de intrare nelimitat

Formule de calcul
Probabilitatea ca toate canalele să fie gratuite

Numărul mediu de coloane ocupate:
N zan =n-N 0 = 2-(2 p 0 +1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 = 1,6
Probabilitatea să nu fie coadă la benzinărie:

Probabilitatea ca va trebui să așteptați ca serviciul să înceapă este egală cu probabilitatea ca toate coloanele să fie ocupate:
p 0 +p 1 +p 2 = 0,1111+0,1778+0,1422 = 0,4311
Numărul mediu de mașini în coadă:

• S 0 – canalul este liber;
• S 1 – canal ocupat;
• S 2 – canalul este ocupat, o cerere este în coadă;
• Sk– canalul este ocupat, (k–1) cererile sunt în coadă;
• Sm+ 1 – canal ocupat, în coadă m aplicatii.

Orez. 25
Folosind formulele Erlang, vom găsi probabilitățile evenimentelor constând în faptul că QS este într-o stare S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

În acest caz, probabilitatea ca o aplicație care ajunge în sistem să o găsească liberă este egală cu
. (29)
Raportul dintre intensitatea primirii cererilor λ și intensitatea cererilor de deservire μ este intensitatea redusă μ, adică.

ρ=λ/μ
Să înlocuim raportul λ/&mu din formulele (28) și (29) cu ρ, atunci expresiile vor lua forma:

(30)
Probabilitate R 0 va fi calculat folosind următoarea formulă:
p 0 = -1 . (31)
Expresie pentru probabilitate P 0 este o progresie geometrică a cărei sumă va fi egală cu

.
Astfel, formulele (30) și (31) ne permit să determinăm probabilitatea oricărui eveniment care poate avea loc în sistem, adică să determinăm probabilitatea ca sistemul să se afle în orice stare.
Formula pentru P 0 este valabil pentru cazul în care ρ ≠ 1. În cazul în care ρ = 1, adică intensitatea primirii cererilor este egală cu intensitatea deservirii acestora, se utilizează o altă formulă pentru a calcula probabilitatea ca sistemul să fie liber:

,
unde m este numărul de aplicații din coadă.

Să definim caracteristicile de performanță ale QS cu un singur canal:

• probabilitatea ca următoarea cerere care ajunge în sistem să fie respinsă R deschide;
• debit absolut O,
• debit relativ Q,
• numărul de canale ocupate k,
• numărul mediu de cereri din coada r,
• numărul mediu de aplicații asociate cu QS, z .

Următoarea cerere care intră în sistem este respinsă atunci când canalul este ocupat, adică o altă solicitare este deservită și asta este tot m se ocupă și locurile din coadă. atunci probabilitatea acestui eveniment poate fi calculată folosind următoarea formulă:

. (32)
Probabilitatea ca o aplicație să intre în sistem și să fie imediat deservită sau să existe locuri în coadă, adică debitul relativ, poate fi găsită folosind formula

. (33)
Numărul mediu de cereri care pot fi deservite pe unitatea de timp, adică debitul absolut, se calculează după cum urmează:

A=Q·λ (34)
Astfel, folosind formulele (32), (33), (34) este posibil să se calculeze principalii indicatori de performanță pentru orice sistem de așteptare. Acum vom deriva expresii pentru calcularea caracteristicilor inerente numai acestui QS.
Definim numărul mediu de cereri din coada r ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete, unde R– numărul de aplicații din coadă.
♦ R 2 este probabilitatea ca în coada de așteptare să existe o singură solicitare pentru serviciu;
♦ R 3 – probabilitatea ca în coadă să fie două aplicații;
♦ Rk– probabilitatea ca în coadă să fie (k–1) aplicații;
♦ Rm+ 1 – probabilitatea ca în coadă să fie m aplicații.
Apoi, numărul mediu de aplicații din coadă poate fi calculat după cum urmează:
r =1·P2 +2·P3 + ... +(k-1)·Pk + ... +m·Pm+1. (35)
Să substituim în formula (35) valorile probabilității găsite anterior calculate în formula (30):
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0 . (35)
Să scoatem probabilitatea din ecuație P 0 și R 2, apoi obținem formula finală pentru calcularea numărului mediu de cereri din coada de service:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
Să derivăm o formulă pentru numărul mediu de aplicații asociate cu QS, z, adică numărul de aplicații din coadă care sunt deservite. Luați în considerare numărul total de aplicații asociate cu QS, z, ca suma a două valori ale numărului mediu de aplicații din coada r și numărul de canale ocupate k:

z = r +k.
Deoarece există un singur canal, numărul de canale ocupate k poate lua valorile 0 sau 1. Probabilitatea ca k = 0, adică. sistemul este liber, corespunde probabilității P 0, a cărei valoare poate fi găsită folosind formula (31). Dacă k = 1, adică canalul este ocupat cu deservirea cererii, dar mai sunt locuri în coadă, atunci probabilitatea acestui eveniment poate fi calculată folosind formula

.
Prin urmare, z va fi egal cu:

. (37)

QS cu un singur canal cu așteptare

Sistem cu un singur canal cu coadă nelimitată

Pentru determinarea probabilităților limită ale stărilor, vom folosi formulele (16), (17) pentru procesul de moarte și reproducere (aici admitem o anumită lipsă de rigoare, întrucât aceste formule au fost obținute anterior pentru cazul unui număr finit de stări ale sistemului). Primim (32)
Deoarece probabilitățile limită există numai pentru ρ< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
și luând în considerare relațiile (17)
p 1 =ρ·p 0; p 2 =ρ 2 ·p 0 ; ... ; p k =ρ k ·p 0 ; ...
haideti sa gasim probabilitatile limitatoare ale altor stari
p 1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 ·(1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
Probabilitățile limită p 0 , p 1 , p 2 , …, p k , … formează o profesie geometrică descrescătoare cu numitor p< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Numărul mediu de aplicații în sistemul L. vom determina folosind formula de așteptare matematică care, ținând cont de (34), va lua forma
(35)
(sumare de la 1 la ∞, deoarece termenul zero este 0·p 0 =0).
Se poate demonstra că formula (35) se transformă (la ρ< 1) к виду
(36)
Să găsim numărul mediu de aplicații din coada L foarte. Este evident că
L och =L syst -L rev (37)
unde L vol. - numărul mediu de aplicații deservite.
Numărul mediu de cereri în serviciu este determinat de formula pentru așteptarea matematică a numărului de solicitări în serviciu, luând valoarea 0 (dacă canalul este liber) sau 1 (dacă canalul este ocupat):
L och =0 p 0 +1 (1-p 0)
aceste. numărul mediu de solicitări în serviciu este egal cu probabilitatea ca canalul să fie ocupat:
L och =P zan =1-p 0 , (38)
În vigoare (33)
L och =P z ρ, (39)
Acum conform formulei (37) luând în considerare (36) și (39)
(40)
S-a dovedit că pentru orice natură a fluxului de aplicații, pentru orice distribuție a timpului de serviciu, pentru orice disciplină de serviciu, timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistem (coadă) este egal cu numărul mediu de aplicații din sistem (în coadă) împărțit prin intensitatea fluxului de aplicații, aceste.
(41)
(42)
Formulele (41) și (42) se numesc Formulele lui Little. Ele provin din faptul că în modul de limitare, staționar, numărul mediu de aplicații care sosesc în sistem este egal cu numărul mediu de aplicații care părăsesc acesta: ambele fluxuri de cereri au aceeași intensitate λ.
Pe baza formulelor (41) și (42), ținând cont de (36) și (40), timpul mediu de păstrare a unei aplicații în sistem va fi determinat de formula:
(43)
și timpul mediu în care o aplicație rămâne în coadă
(44)

QS cu un singur canal cu așteptare fără limitare a capacității blocului de așteptare

Exemplul 3.3. Să ne amintim situația avută în vedere în exemplul 3.2, unde vorbim despre funcționarea unui post de diagnostic. Lăsați postul de diagnosticare în cauză să aibă un număr nelimitat de zone de parcare pentru vehiculele care sosesc pentru service, adică lungimea cozii este nelimitată.
Este necesar să se determine valorile finale ale următoarelor caracteristici probabilistice:

• probabilitățile stărilor sistemului (stație de diagnosticare);
• numărul mediu de mașini din sistem (în service și în coadă);
• durata medie a șederii unui vehicul în sistem (pentru service și la coadă);
• numărul mediu de mașini la coadă pentru service;
• durata medie de timp pe care o mașină stă la rând.

Soluţie
1. Parametrul debitului de serviciu m și intensitatea redusă a debitului vehiculului p sunt definite în exemplul 3.2:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Calculați probabilitățile limită ale sistemului folosind formulele
P 0 =1-ρ = 1-0,893 = 0,107
P 1 =(1-ρ) ρ = (1-0,893) 0,893 = 0,096
P 2 =(1-ρ) ρ 2 = (1-0,893) 2 0,893 = 0,085
P 3 =(1-ρ) ρ 3 = (1-0,893) 3 0,893 = 0,076
P 4 =(1-ρ) ρ 4 = (1-0,893) 4 0,893 = 0,068
P 5 =(1-ρ) ρ 5 = (1-0,893) 5 0,893 = 0,061
etc.
Trebuie remarcat faptul că P o determină proporția de timp în care postul de diagnostic este forțat să fie inactiv (inactiv). În exemplul nostru este de 10,7%, deoarece R o= 0,107.
3. Numărul mediu de mașini din sistem (în service și în coadă):
4. Durata medie a șederii unui client în sistem:

T= l P N

În exemplul nostru, cu N = 3 + 1 = 4 și p = 0,893,
m = l P o p 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 mașini pe oră.
Cu un mod de funcționare de 12 ore al stației de diagnosticare, aceasta este echivalentă cu faptul că stația de diagnosticare, în medie, va pierde 12·0,134 = 1,6 mașini pe schimb (zi).
Eliminarea restricției privind lungimea cozii ne permite să creștem numărul de clienți deserviți în exemplul nostru cu o medie de 1,6 mașini pe tură (12 ore de lucru) la stația de diagnosticare. Este clar că decizia de extindere a zonei de parcare a autovehiculelor care sosesc la stația de diagnosticare trebuie să se bazeze pe o evaluare a prejudiciului economic care este cauzat de pierderea clienților atunci când există doar trei locuri de parcare pentru aceste vehicule.

QS multicanal cu coadă nelimitată

Sistemul poate fi în una dintre stările S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - numerotate după numărul de aplicații din QS: S 0 - nu există aplicații în QS sistem (toate canalele sunt gratuite); S 1 - un canal este ocupat, restul sunt libere; S 2 - două canale sunt ocupate, restul sunt libere;..., S k - k canale sunt ocupate, restul sunt libere;..., S n - toate cele n canale sunt ocupate (fără coadă); S n+1 - toate cele n canale sunt ocupate, există o cerere în coadă;..., S n+r - toate sunt ocupate n canale, r aplicațiile sunt în linie...

Graficul stării sistemului este prezentat în Fig. 9. Să observăm că, spre deosebire de QS-ul precedent, intensitatea fluxului de servicii (transferând sistemul de la o stare la alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă, iar pe măsură ce numărul de solicitări în QS crește de la 0 la n, crește de la m la nm, deoarece numărul de canale de servicii crește în mod corespunzător. Când numărul de cereri din QS este mai mare decât n, intensitatea fluxului de servicii rămâne egală cu nm.

numărul mediu de aplicații în coadă
, (50)
numărul mediu de aplicații din sistem
L syst =L och +ρ, (51)
Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în coadă și timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem, ca și înainte, sunt găsite folosind formulele lui Little (42) și (41).
Comentariu. Pentru un QS cu o coadă nelimitată la r< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q=1, iar debitul absolut este egal cu intensitatea fluxului de solicitări de intrare, i.e. O=l.

QS cu coadă limitată

În cele mai simple modele matematice ale unor astfel de sisteme, se presupune că o cerere poate rămâne în coadă un timp aleator, distribuită după o lege exponențială cu un anumit parametru υ, adică. putem presupune condiționat că fiecare cerere aflată în coada de service poate părăsi sistemul cu intensitatea υ.
Indicatorii de performanță QS limitați în timp corespunzători sunt obținuți pe baza rezultatelor obținute pentru procesul de deces și reproducere.

În concluzie, observăm că în practică există adesea sisteme de servicii închise în care fluxul de aplicații de intrare depinde în mod semnificativ de starea QS-ului în sine. Ca exemplu, putem cita situația în care unele utilaje sunt livrate la baza de reparații din locurile de operare: este clar că cu cât mai multe utilaje sunt în stare de reparație, cu atât mai puține dintre ele continuă să fie folosite și cu atât mai puțin intense. fluxul de mașini nou sosite pentru reparații. Un QS închis este caracterizat de un număr limitat de surse de solicitare, iar fiecare sursă este „blocata” în timp ce cererea sa este servită (adică nu emite cereri noi). În astfel de sisteme, cu un număr finit de stări QS, vor exista probabilități limită pentru orice valoare a intensității fluxurilor de aplicații și service. Ele pot fi calculate prin revizuirea procesului de moarte și reproducere.

Sistem de așteptare multicanal cu coadă limitată

Fie ca un flux Poisson de cereri cu intensitate să ajungă la intrarea unui QS care are canale de serviciu. Intensitatea deservirii unei aplicații de către fiecare canal este egală, iar numărul maxim de locuri în coadă este egal.

Graficul unui astfel de sistem este prezentat în Figura 7.

Figura 7 - Graficul de stare al unui QS multicanal cu o coadă limitată

Toate canalele sunt gratuite, nu există coadă;

Ocupat l canale ( l= 1, n), fără coadă;

Toate cele n canale sunt ocupate, există o coadă i aplicatii ( i= 1, m).

O comparație a graficelor din Figura 2 și Figura 7 arată că acest din urmă sistem este un caz special al sistemului de naștere și deces, dacă în acesta se fac următoarele înlocuiri (denumirile din stânga se referă la sistemul de naștere și deces):

Expresiile pentru probabilitățile finale pot fi găsite cu ușurință din formulele (4) și (5). Ca rezultat obținem:

Se formează o coadă când, în momentul în care următoarea solicitare ajunge la QS, toate canalele sunt ocupate, adică. sistemul conține fie n, fie (n+1),…, fie (n + m - 1) aplicații. Deoarece aceste evenimente sunt incompatibile, atunci probabilitatea formării unei cozi p este egală cu suma probabilităților corespunzătoare:

Un refuz de a deservi o aplicație are loc atunci când toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, adică:

Debitul relativ este:

Numărul mediu de aplicații din coadă este determinat de formula (11) și poate fi scris astfel:

Numărul mediu de aplicații servite în QS poate fi scris astfel:

Numărul mediu de aplicații în CMO:

Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS și în coadă este determinat de formulele (12) și (13).

Sistem de așteptare multicanal cu coadă nelimitată

Graficul unui astfel de QS este prezentat în Figura 8 și este obținut din graficul din Figura 7 la.

Figura 8 - Graficul de stare al unui QS multicanal cu o coadă nelimitată

Formulele pentru probabilitățile finale pot fi obținute din formulele pentru un QS cu n canale cu o coadă limitată la. Trebuie avut în vedere faptul că atunci când probabilitatea p 0 = p 1 =...= p n = 0, i.e. coada crește fără limită. În consecință, acest caz nu prezintă interes practic și doar un caz este considerat mai jos. Când din (26) obținem:

Formulele pentru probabilitățile rămase au aceeași formă ca și pentru QS cu o coadă limitată:

Din (27) obținem o expresie pentru probabilitatea formării unei cozi de aplicații:

Deoarece coada nu este limitată, probabilitatea refuzului de a deservi o aplicație este:

Debit absolut:

Din formula (28) la obținem expresia pentru numărul mediu de aplicații din coadă:

Numărul mediu de cereri servite este determinat de formula:

Timpul mediu petrecut în QS și în coadă este determinat de formulele (12) și (13).

Sistem de așteptare multicanal cu coadă limitată și timp limitat de așteptare la coadă

Diferența dintre un astfel de QS și QS discutat în subsecțiunea 5.5 este că timpul de așteptare pentru serviciu atunci când o aplicație este în coadă este considerată o variabilă aleatorie distribuită conform unei legi exponențiale cu parametrul, unde este timpul mediu de așteptare pentru un aplicație în coadă și - are sens intensitatea fluxului de aplicații care părăsesc coada. Graficul unui astfel de QS este prezentat în Figura 9.

Figura 9 - Graficul unui QS multicanal cu o coadă limitată și timp de așteptare limitat în coadă

Desemnările rămase au același sens aici ca în subsecțiune.

Comparația graficelor din fig. 3 și 9 arată că acest din urmă sistem este un caz special al sistemului de naștere și deces, dacă în acesta se fac următoarele înlocuiri (notațiile din stânga se referă la sistemul de naștere și deces):

Expresiile pentru probabilitățile finale pot fi găsite cu ușurință din formulele (4) și (5) ținând cont de (29). Ca rezultat obținem:

Unde. Probabilitatea formării cozii este determinată de formula:

Un refuz de a deservi o aplicație are loc atunci când toate cele m locuri din coadă sunt ocupate, de exemplu. probabilitatea refuzului serviciului:

Lățime de bandă relativă:

Debit absolut:

Numărul mediu de aplicații din coadă se găsește prin formula (11) și este egal cu:

Numărul mediu de cereri deservite în QS se găsește prin formula (10) și este egal cu: