Setul de producție și funcțiile acestuia. Vezi paginile în care este menționat termenul set tehnologic

Un set de formalizare al tuturor vectorilor fezabil din punct de vedere tehnologic ai rezultatelor nete.

Definiţie

Lasă economia să aibă $N$ bun În procesul de producere a acestora $n$ beneficiile sunt cheltuite. Să notăm vectorul acestor beneficii (costuri) $x$(dimensiunea vectorială $n$). Alte $m=N-n$ mărfurile sunt eliberate în procesul de producție (dimensiunea vectorului este $m$). Să notăm vectorul acestor beneficii $y$. Apoi vectorul $z=(-x,y)$(dimensiunea - $N$) se numește vector probleme nete. Totalitatea tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete este set tehnologic. De fapt, acesta este un subset al spațiului $R^N$.

Pentru cititorii care au dificultăți cu conceptele vectoriale, există multe:

vector - o listă de bunuri, fiecare bun este descris prin cantitatea sa, un set de numere;

toate bunurile consumate în producție se înregistrează la începutul vectorului de ieșire netă z cu semnul minus (-x), cele produse cu semnul plus (y);

toate combinațiile posibile pentru producție formează un set tehnologic (combinații de producție).

Proprietăți

• Non-viditatea: setul tehnologic nu este gol. Non-viditatea înseamnă posibilitatea fundamentală de producție.
• Acceptabilitatea inactivității: vectorul zero aparține mulțimii tehnologice. Această proprietate formală înseamnă că ieșirea zero la intrarea zero este acceptabilă.
• Închidere: mulţimea tehnologică conţine propria sa limită, iar limita oricărei secvenţe de vectori realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieşirilor nete aparţine, de asemenea, mulţimii tehnologice.
• Libertatea de a cheltui: dacă vectorul dat $z$ aparține mulțimii tehnologice, atunci îi aparține orice vector $z"\backslash leqslant\; z$. Aceasta înseamnă că în mod formal același volum de producție poate fi produs la costuri mai mari.
• Absența unei „cornucopia”: dintre vectorii nenegativi ai ieșirii nete, doar vectorul zero aparține mulțimii tehnologice. Aceasta înseamnă că sunt necesare costuri diferite de zero pentru a produce o cantitate pozitivă de producție.
• Ireversibilitate: pentru orice vector valid $z$, vector opus $-z$ nu aparţine ansamblului tehnologic. Adică, este imposibil să se producă resurse din produse fabricate în aceleași cantități în care sunt utilizate pentru a produce aceste produse.
• Aditivitate: Suma a doi vectori validi este de asemenea un vector valid. Adică este permisă o combinație de tehnologii.
• Proprietăți legate de randamentele la scară de producție:
  • Randamente la scară necrescătoare: pentru oricine $\backslash lambda\; \backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Randamente la scară nedescrescătoare: pentru oricine $\backslash lambda\; >1$ dacă z aparține mulțimii tehnologice, atunci $\backslash lambda\; z$ aparţine şi ansamblului tehnologic.
  • Reveniri constante la scară: îndeplinirea simultană a celor două proprietăți anterioare, adică pentru orice pozitiv $\backslash lambda$ Dacă $z$ aparţine ansamblului tehnologic, deci $\backslash lambda\; z$ aparţine şi ansamblului tehnologic. Proprietatea returului constant înseamnă că setul tehnologic este un con.

8. Convex: pentru oricare doi vectori validi $z\_1,\; z\_2$ Orice vectori sunt, de asemenea, validi $\backslash alpha\; z\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Unde . Proprietatea de convexitate înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologii. În special, este îndeplinită dacă ansamblul tehnologic are proprietatea de aditivitate și randamente la scară necrescătoare. Mai mult, în acest caz setul tehnologic este un con convex.

Tehnologia eficientă a stabilit limite

Tehnologie acceptabilă $z$ numit eficient, dacă nu există altă tehnologie acceptabilă diferită de aceasta $z"\backslash geqslant\; z$. Se formează multe tehnologii eficiente frontieră eficientă set tehnologic.

Dacă este îndeplinită condiția libertății de a cheltui și închiderea setului tehnologic, atunci este imposibil să creșteți la nesfârșit producția unui bun fără a reduce producția altora. În acest caz, pentru orice tehnologie acceptabilă $z$ există tehnologie eficientă $z"\; \backslash geqslant\; z$. În acest caz, în locul întregului set tehnologic, se poate folosi doar limita efectivă a acestuia. De obicei, frontiera eficientă poate fi dată de o anumită funcție de producție.

Funcția de producție

Să luăm în considerare tehnologiile cu un singur produs $(-x,y)$, Unde $y$- vector de dimensiune $m=1$, A $x$- vectorul costului dimensiunii $n$. Luați în considerare setul $X$, care include toți vectorii de cost posibili $x$, astfel încât pentru toată lumea $x$ există $y$, astfel încât vectorii neți de ieșire $(-x,y)$ aparțin ansamblului tehnologic.

Funcția numerică $f(x)$ pe $X$ numit functia de productie, dacă pentru fiecare vector de cost dat $x$ sens $f(x)$ definește valoarea maximă a ieșirii permise $y$(astfel încât vectorul net de ieșire (-x,y) aparține mulțimii tehnologice).

Orice punct al limitei efective a ansamblului tehnologic poate fi reprezentat sub formă $(-x,f(x))$, iar opusul este adevărat dacă $f(x)$ este o funcție crescătoare (în acest caz $y=f(x)$- ecuaţia limitei efective). Dacă un set tehnologic are proprietatea libertății de cheltuieli și poate fi descris de o funcție de producție, atunci setul tehnologic este determinat pe baza inegalității $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Pentru ca un set tehnologic să fie specificat folosind o funcție de producție, este suficient ca pentru oricare $x$ multe $F(x)$ ieșiri admisibile la costuri date $x$, a fost limitat și închis. În special, această condiție este îndeplinită dacă setul tehnologic are proprietăți de închidere, randamente la scară necrescătoare și absența unei cornucopii.

Dacă setul tehnologic este convex, atunci funcția de producție este concavă și continuă pe interiorul setului $X$. Dacă este îndeplinită condiția libertății de cheltuieli, atunci $f(x)$ este o funcție nedescrescătoare (în acest caz, concavitatea funcției implică și convexitatea mulțimii tehnologice). În sfârșit, dacă atât condiția absenței unei cornuri de abundență, cât și admisibilitatea inactivității sunt îndeplinite simultan, atunci $f(0)=0$.

Dacă funcția de producție este diferențiabilă, atunci este posibil să se definească un local elasticitatea scariiîn următoarele moduri echivalente:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x)\; )x)(f(x))$

Unde $f"(x)$ este vectorul gradient al funcției de producție.

După ce am determinat astfel elasticitatea scării, putem arăta că dacă o mulțime tehnologică are proprietatea randamentelor constante la scară, atunci $e(x)=1$, dacă există randamente descrescătoare la scară, atunci $e(x)\backslash leqslant\; 1$, dacă randamente crescătoare, atunci $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

Provocarea producătorului

Dacă este dat vectorul preț $p$, apoi produsul $pz$ reprezintă profitul producătorului. Sarcina producătorului se rezumă la găsirea unui astfel de vector $z$, astfel încât pentru un vector de preț dat profitul să fie maxim. Notăm ansamblul prețurilor mărfurilor la care această problemă are o soluție $P$. Se poate demonstra că pentru un set tehnologic nevid, închis, cu randamente la scară necrescătoare, problema producătorului are o soluție pe setul de prețuri $P$, dând profit negativ pe așa-numitul recesiv direcții (aceștia sunt vectori $z$ set tehnologic, pentru care, pentru orice nenegativ $\backslash lambda$ vectori $\backslash lambda\; z$ aparțin și ansamblului tehnologic). În special, dacă setul de direcții recesive coincide cu $R^N\_-$, atunci există o soluție pentru orice preț pozitiv.

Funcția de profit $\backslash pi(p)$ definit ca $pz(p)$, Unde $z(p)$- rezolvarea problemei producătorului la prețuri date (aceasta este așa-numita funcție de aprovizionare, eventual multivalorică). Funcția de profit este omogenă pozitiv (de gradul I), adică $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ si continuu pe interior $P$. Dacă setul tehnologic este strict convex, atunci și funcția de profit este diferențiabilă continuu. Dacă setul tehnologic este închis, atunci funcția de profit este convexă pe orice subset convex de prețuri acceptabile $P$.

Funcția de propoziție (afișare) $z(p)$ este pozitiv omogen de gradul zero. Dacă mulțimea tehnologică este strict convexă, atunci funcția de aprovizionare este cu o singură valoare pe P și continuă pe interior $P$. Dacă o funcție de ofertă este de două ori diferențiabilă, atunci matricea jacobiană a acestei funcții este simetrică și definită nenegativă.

Dacă ansamblul tehnologic este reprezentat de o funcție de producție, atunci profitul este definit ca $pf(x)-wx$, Unde $w$- vector de prețuri pentru factorii de producție, $p$în acest caz, prețul produselor fabricate. Apoi pentru orice soluție internă (adică aparținând interiorului $X$) problema producătorului este corectă: egalitatea produsului marginal al fiecărui factor cu prețul său relativ, adică sub formă vectorială $f"(x)=w/p$.

Dacă este dată funcţia de profit $\backslash pi(p)$, care este o funcție de două ori continuu diferențiabilă, convexă și omogenă pozitiv (gradul întâi), atunci este posibil să se restabilească mulțimea tehnologică ca o mulțime care conține pentru orice vector de preț nenegativ $p$ vectori cu eliberare curată $z$, satisfacerea inegalitatii $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. De asemenea, se poate demonstra că dacă funcția de ofertă este omogenă pozitiv de gradul zero și matricea primelor sale derivate este continuă, simetrică și nenegativă definită, atunci funcția de profit corespunzătoare satisface cerințele de mai sus (este și invers).

Vezi de asemenea

Scrieți o recenzie despre articolul „Set tehnologic”

Literatură

Extras care caracterizează ansamblul Tehnologic

Deodată prințul Hippolyte s-a ridicat și, oprindu-i pe toți cu semne de mână și rugându-i să se așeze, a vorbit:
- Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m"excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l"histoire. [Astăzi mi s-a spus o glumă fermecătoare la Moscova; trebuie să-i înveți. Îmi pare rău, viconte, vă spun în rusă, altfel se va pierde tot rostul glumei.]
Și prințul Hippolyte a început să vorbească rusă cu accentul pe care îl vorbesc francezii când sunt în Rusia de un an. Toată lumea făcu o pauză: Prințul Hippolyte a cerut atât de însuflețit și urgent să acorde atenție poveștii sale.
– Există o doamnă la Moscova, une dame. Și e foarte zgârcită. Trebuia să aibă doi valeți de pied pentru trăsură. Și foarte înalt. A fost pe placul ei. Și avea une femme de chambre [servitoare], încă foarte înaltă. Ea a spus…
Aici prințul Hippolyte a început să gândească, aparent având dificultăți în a gândi corect.
„Ea a spus... da, a spus: „fată (a la femme de chambre), îmbrăcă-te cu livrea [livrea] și vino cu mine, în spatele trăsurii, faire des visites.” [fă vizite.]
Aici prințul Hippolyte a pufnit și a râs mult mai devreme decât ascultătorii săi, ceea ce a făcut o impresie nefavorabilă naratorului. Cu toate acestea, mulți, inclusiv doamna în vârstă și Anna Pavlovna, au zâmbit.
- A plecat. Deodată a fost un vânt puternic. Fata și-a pierdut pălăria și părul lung a fost pieptănat...
Aici n-a mai putut să se țină și a început să râdă brusc și prin acest râs a spus:
- Și toată lumea știa...
Acesta este sfârșitul glumei. Deși nu era clar de ce o spunea și de ce trebuia spusă în rusă, Anna Pavlovna și alții au apreciat amabilitatea socială a prințului Hippolyte, care a încheiat atât de plăcut farsa neplăcută și neplăcută a domnului Pierre. Conversația de după anecdotă s-a dezintegrat în discuții mici, nesemnificative despre viitor și balul trecut, performanță, despre când și unde s-ar vedea.

Modalități de a descrie tehnologiile.

Producția este principalul domeniu de activitate al companiei. Firmele folosesc factori de producție, care se mai numesc factori de producție de intrare (input). De exemplu, un proprietar de brutărie folosește inputuri precum forța de muncă a muncitorilor, materii prime sub formă de făină și zahăr și capitalul investit în cuptoare, mixere și alte echipamente pentru a produce produse precum pâine, prăjituri și cofetărie.

Putem împărți factorii de producție în mari categorii - forță de muncă, materiale și capital, fiecare dintre acestea incluzând grupări mai restrânse. De exemplu, munca ca factor de producție prin indicatorul intensității forței de muncă combină atât forța de muncă calificată (dulgheri, ingineri), cât și forța de muncă necalificată (muncitori agricoli), precum și eforturile antreprenoriale ale managerilor companiei. Materialele includ oțel, materiale plastice, electricitate, apă și orice alt produs pe care o firmă îl achiziționează și îl transformă într-un produs finit. Capitalul include clădiri, echipamente și stocuri.

Setul tuturor vectorilor accesibili din punct de vedere tehnologic ai producției nete pentru o firmă dată se numește mulțime de producție și este notat cu Y.

SET DE PRODUCȚIE- set de valide metode tehnologice dat sistem economic (X,Y ) , Unde X - totalitate vectori de cost, A Y - totalitate eliberarea vectorilor.

P. m. se caracterizează prin următoarele trăsături: it închisŞi convex(cm. Multe), vectorii de cost sunt neapărat nezero (nu puteți produce ceva fără să cheltuiți nimic), iar componentele PM — costurile și rezultatele — nu pot fi schimbate, deoarece producția este un proces ireversibil. Convexitatea P. m. arată, în special, faptul că randamentul resurselor procesate scade odată cu creșterea volumului de prelucrare.

Proprietățile seturi de producție

Să considerăm o economie cu l bunuri. Pentru o anumită firmă, este firesc să se considere unele dintre aceste bunuri ca factori de producție, iar altele ca produse de producție. Trebuie remarcat faptul că această diviziune este destul de arbitrară, deoarece compania are suficientă libertate în alegerea gamei de produse produse și a structurii costurilor. Când descriem tehnologia, vom face distincția între producție și costuri, reprezentând acestea din urmă ca producție cu semnul minus. Pentru comoditatea prezentării tehnologiei, produsele care nu sunt nici consumate, nici produse de companie vor fi clasificate ca producție, iar volumul de producție al acestor produse va fi considerat egal cu 0. În principiu, o situație în care un produs produs de nu poate fi exclusă o întreprindere consumată și de aceasta în procesul de producție. În acest caz, vom lua în considerare numai producția netă a acestui produs, adică producția sa minus costurile.

Fie numărul de factori de producție egal cu n, iar numărul de tipuri de producție egal cu m, astfel încât l = m + n. Să notăm vectorul costurilor (în valoare absolută) cu r 2 Rn+, iar volumul producției cu y 2 Rm+

Vom numi vectorul (−r, yo) vectorul ieșirilor nete. Mulțimea tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete y = (−r, yo) constituie mulțimea tehnologică Y . Astfel, în cazul în cauză, orice mulțime tehnologică este o submulțime a lui Rn − × Rm+

Această descriere a producției este de natură generală. În același timp, este posibil să nu respectați o divizare strictă a mărfurilor în produse și factori de producție: același bun poate fi cheltuit cu o tehnologie și produs cu alta.

Să descriem proprietățile seturilor tehnologice, în termenii cărora sunt descrise de obicei clase specifice de tehnologii.

1. Neviditatea. Mulțimea tehnologică Y este nevidă. Această proprietate înseamnă posibilitatea fundamentală de a desfășura activități de producție.

2. Închidere. Setul tehnologic Y este închis. Această proprietate este mai degrabă tehnică; înseamnă că setul tehnologic conține limita sa, iar limita oricărei secvențe de vectori de ieșire netă realizabili din punct de vedere tehnologic este, de asemenea, un vector de ieșire net fezabil din punct de vedere tehnologic.

3. Libertatea de a cheltui. Această proprietate poate fi interpretată ca abilitatea de a produce aceeași cantitate de producție, dar la costuri mai mari, sau mai puțină producție la aceleași costuri.

4. Fără „cornucopia” („fără prânz gratuit”). dacă y 2 Y și y > 0, atunci y = 0. Această proprietate înseamnă că pentru a produce un produs într-o cantitate pozitivă sunt necesare costuri într-un volum diferit de zero.

< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50. Randamente nedescrescătoare la scară: dacă y 2 Y și y0 = _y, unde _ > 1, atunci y0 2 Y.

În cazul a două bunuri, în care unul este cheltuit și celălalt este produs, randamentele crescătoare înseamnă că productivitatea medie (maximum posibilă) a input-ului nu scade.

500. Revenirea constantă la scară este o situație în care mulțimea tehnologică satisface condițiile 5 și 50 simultan, adică dacă y 2 Y și y0 = _y0, atunci y0 2 Y 8_ > 0.

Din punct de vedere geometric, revenirile constante la scară înseamnă că Y este un con (eventual să nu conțină 0). În cazul a două bunuri, în care unul este input și celălalt este produs, producția constantă înseamnă că productivitatea medie a inputului nu se modifică pe măsură ce ieșirea se modifică.

5. Randamente necrescătoare la scară: dacă y 2 Y și y0 = _y, unde 0< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50. Randamente la scară nedescrescătoare: Dacă y 2 Y și y0 = _y, unde _ > 1, atunci y0 2 Y. În cazul a două bunuri, în care unul este introdus și celălalt este produs, randamentele crescătoare înseamnă că (maximum posibil) productivitatea medie a inputului nu scade.

500. Revenirea constantă la scară este o situație în care mulțimea tehnologică satisface condițiile 5 și 50 simultan, adică dacă y 2 Y și y0 = _y0, atunci y0 2 Y 8_ > 0.

Din punct de vedere geometric, revenirile constante la scară înseamnă că Y este un con (eventual să nu conțină 0).

În cazul a două bunuri, în care unul este input și celălalt este produs, producția constantă înseamnă că productivitatea medie a inputului nu se modifică pe măsură ce ieșirea se modifică.

6. Convexitate: Proprietatea convexității înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologii în orice proporție.

7. Ireversibilitate

Să presupunem că puteți produce 5 rulmenți dintr-un kilogram de oțel. Ireversibilitatea înseamnă că este imposibil să se producă un kilogram de oțel din 5 rulmenți.

8. Aditivitate. dacă y 2 Y și y0 2 Y, atunci y + y0 2 Y. Proprietatea aditivității înseamnă capacitatea de a combina tehnologii.

9. Acceptabilitatea inactivității:

Teorema 44:

1) Din randamentele necrescătoare la scară și aditivitatea ansamblului tehnologic urmează convexitatea acestuia.

2) Rentabilitatea la scară necrescătoare rezultă din convexitatea setului tehnologic și din permisiunea inactivității. (Reversul nu este întotdeauna adevărat: cu randamente care nu sunt în creștere, tehnologia poate fi neconvexă)

3) O mulțime tehnologică are proprietăți de aditivitate și randamente la scară necrescătoare dacă și numai dacă este un con convex.

Nu toate tehnologiile eligibile sunt la fel de importante din punct de vedere economic.

Dintre tehnologiile acceptabile se remarcă tehnologiile eficiente. O tehnologie admisibilă y este de obicei numită eficientă dacă nu există altă tehnologie admisibilă (diferită de aceasta) y0 astfel încât y0 > y. Evident, această definiție a eficienței implică implicit că toate bunurile sunt într-un fel de dorit. Tehnologiile eficiente constituie limita eficientă a ansamblului tehnologic. În anumite condiții, devine posibilă utilizarea frontierei efective în analiză în locul întregului set tehnologic. În acest caz, este important ca pentru orice tehnologie admisibilă y să existe o tehnologie eficientă y0 astfel încât y0 > y. Pentru ca această condiție să fie îndeplinită, se cere ca ansamblul tehnologic să fie închis, iar în cadrul ansamblului tehnologic să fie imposibilă creșterea producției unui bun la nesfârșit fără a reduce producția altor bunuri.

METODĂ TEHNOLOGICĂ- un concept general care combină două: T.s. producție (metoda de productie, tehnologie) Și T.s. consum; set de caracteristici de bază ( ingrediente) procesul de producție (respectiv - consum) asta sau asta produs. ÎN model economic si matematic T.s., sau tehnologia (activitatea), este descrisă de un sistem de numere inerent acesteia ( vector): de ex. standardele de costŞi eliberare diverse resurse pe unitate de timp sau pe unitate de producție etc., inclusiv coeficienți consum de material, intensitatea muncii, intensitatea capitalului, intensitatea capitalului.

De exemplu, dacă x = (x 1 , ..., x m) - vector al costurilor resurselor (enumerate la numere eu = 1, 2, ..., m), A y = (y 1 , ..., y n) - vector al volumelor de producție de produse j= 1, 2, ..., n, atunci tehnologiile, procesele tehnologice, metodele de producție pot fi numite perechi de vectori ( x,y ). Admisibilitatea tehnologicăînseamnă aici capacitatea de a obține din ingredientele uzate (utilizate) ale vectorului x vector produs y .

Setul de toate tehnologiile acceptabile posibile ( XY) forme set tehnologic sau de producție dat sistem economic.

VECTOR- o mulțime ordonată de un anumit număr de numere reale (aceasta este una dintre multele definiții - cea acceptată în metode economice și matematice). De exemplu, planul zilnic al unui atelier poate fi scris ca un vector 4-dimensional (5, 3, -8, 4), unde 5 înseamnă 5 mii de părți dintr-un tip, 3 - 3 mii de părți ale celui de-al doilea tip, ( -8) - consumul de metal în tone, iar ultima componentă, să spunem, economisește 4 mii kW. h de electricitate. După cum puteți vedea, numărul de componente ( coordonate) B. în mod arbitrar (în acest caz, planul atelierului poate consta nu din patru, ci din orice alt număr de indicatori); nu trebuie schimbate; ele pot fi atât pozitive, cât și negative.

Vectorii pot fi înmulțiți cu un număr real (de exemplu, dacă creșteți planul de 1,2 ori în toți indicatorii, veți obține un nou vector cu același număr de componente). Vectorii care conțin un număr egal de componente aditive cu același nume pot fi adăugați și scăzuți.

Desemnarea literei V. este de obicei afișată cu caractere aldine (deși acest lucru nu este întotdeauna respectat).

Suma vectorilor x = (x 1 ,..., x n) și y = (y 1 , ..., y n) este de asemenea V. ( x + y ) = (x 1 + y 1 , ..., x n +y n).

Produsul punctual al vectorilor x Şi y este un număr egal cu suma produselor componentelor corespunzătoare acestor variabile:

Vectori x Şi y sunt numite ortogonală, dacă produsul lor scalar este egal cu zero.

Egalitatea V. - componenta, adică două V. sunt egale dacă componentele lor corespunzătoare sunt egale.

Vector 0 - (0, ..., 0) nul;

n-dimensional V. - pozitiv ( x > 0), dacă toate componentele sale x i mai mare decât zero nenegativ (x ≥ 0), dacă toate componentele sale x i mai mare de 0 sau egal cu zero, adică x i≤ 0; Şi semipozitiv, dacă cel puțin o componentă x i≥ 0 (desemnare x ≥ 0); dacă vectorii au un număr egal de componente, este posibilă ordonarea lor (completă sau parțială), adică introducerea pe un set de vectori relație binară “> ”: x > y , x ≥y , x ≥ y in functie de daca diferenta este pozitiva, semipozitiva sau nenegativa x – y.

LEGEA REDUCEREA RETORNĂRII- afirmația că dacă folosirea oricăruia factor de producțieși, în același timp, costurile tuturor celorlalți factori sunt păstrate (se numesc fix), apoi volumul fizic produs marginal produs cu ajutorul factorului specificat va începe (cel puţin dintr-o anumită etapă) să scadă.

GRANDĂ DE PRODUCȚIE- amplasarea geometrică a punctelor reprezentând o creștere proporțională a numărului resurse atunci când se utilizează un anumit metoda tehnologica cu creşterea intensitate.

De exemplu, dacă o combinație de 3 unități. capital (fonduri) și 2 unități. forță de muncă (adică combinația 3 K + 2L) dă 10 unități. un produs, apoi combinații 6 K + 4L, 9K + 6L, dând 20 și, respectiv, 30 de unități. etc., se va întinde pe grafic pe o dreaptă numită P. l. sau fascicul tehnologic. Cu o combinație diferită de factori P. l. va avea o panta diferita. Din cauza indivizibilitatii multora factori de producţie număr de metode tehnologice și, în consecință, P. l. este acceptat ca final.

De exemplu, dacă o echipă de trei mineri lucrează într-o fața de cărbune și li se adaugă încă unul, producția va crește cu un sfert, iar dacă adăugați un al cincilea, al șaselea, al șaptelea, creșterea producției va începe să scadă și apoi opriți-vă complet: minerii în condiții înghesuite se vor pune pur și simplu în cale unii altora.

Conceptul cheie aici este productivitatea marginală a muncii (mai larg - productivitatea marginală a unui factor de producție δ Y/δ x). De exemplu, dacă sunt luați în considerare doi factori, atunci pe măsură ce costurile unuia dintre ei (primul sau al doilea) cresc, productivitatea sa marginală scade.

Legea este aplicabilă pe termen scurt și pentru această tehnologie (revizuirea ei schimbă situația).

Izocuante și izocline PF

Dacă ne întoarcem din nou la metoda analogiei, atunci, ca și în cazul modelului comportamentului consumatorului, în teoria modelării proceselor de producție putem evidenția conceptul de curbă de indiferență a unui producător. Acest concept poate corespunde mai multor seturi de factori de producție, care corespund aceleiași cantități de produs produs, adică:

Se numește mulțimea de puncte care satisfac egalitatea (4.1). izocuanta PF ( izo- constantă, cantitate- cantitate). Fiecare izocuanta corespunde unui nivel diferit de productie a produsului ( y ), iar izocuantele mai îndepărtate de punctul zero (punctele de inacțiune) corespund unor valori mai mari y . Izocuantele au, de asemenea, aceleași proprietăți ca și curbele de indiferență (sunt paralele între ele, nu se intersectează cu axele absciselor și ordonatelor etc.) Pentru un PF cu doi factori, o izocuantă va exprima în esență dependența funcțională a costurilor de capital față de muncă. costuri la un anumit nivel de produs produs:

Producătorul, prin tehnologii diferite, poate alege diferite combinații de factori de producție și poate menține un nivel constant de producție. Conform izocuantei, o creștere a unui factor va duce la o scădere a altuia. Prin urmare, trebuie să existe o caracteristică care să permită evaluarea compensării unui factor de către altul. Această caracteristică este rata marginală de substituție(similar cu aceeași caracteristică în teoria utilității consumatorului):

, (4.2)

care arată cât de mult o creștere a factorului j va compensa reducerea factorului i pe unitate, astfel încât nivelul de producție al produsului să rămână același (înlocuirea factorilor i factor j ).

În consecință, înlocuirea inversă (a factorului j cu factorul i) va fi caracterizată prin valoarea reciprocă: .

Conform relației dintre coeficientul de elasticitate și produsul marginal (4.1), rata marginală de substituție poate fi exprimată astfel:

(4.3)

Conform (4.1) pentru un PF cu doi factori avem:

- rata maximă de înlocuire a capitalului cu muncă;

- rata maximă de înlocuire a muncii cu capital.

Conform (4.3), pentru un model cu doi factori, rata marginală de substituție poate fi exprimată și prin coeficienți de elasticitate:

, Unde La – raportul capital-muncă.

Alături de izocuante, un rol important în PF îl joacă izoclinele – seturi de puncte din zona economică pentru care rata marginală de substituție i - al-lea factor j -m este constantă:

Folosind conceptul de izoclin (izoclin), puteți transforma un set arbitrar de factori (L,K) incluse in set (D, doamnă) , adică rezolvarea sistemului de ecuații:

va fi:

PF omogen cu o rată marginală constantă de substituție a muncii cu capital și grad de omogenitate δ=1 aparține clasei de funcții liniare, adică .

Astfel, pentru un PF cu doi factori, fiecare punct al izocuantei este caracterizat de costurile capitalului și ale muncii sau de rata marginală de substituție a muncii cu capital. DOAMNA LK și raportul capital-muncă k . Dacă ne întoarcem la reprezentarea geometrică, atunci DOAMNA LK este egal cu coeficientul unghiular al tangentei la un punct izocuant dat, iar valoarea lui k este coeficientul unghiular al razei care iese de la origine și trece printr-un punct izocuant dat (vezi. Orez. 4.2).

Figura 4.2

De exemplu, la punct ÎN valoarea costurilor cu forța de muncă este mai mare decât la punct O , prin urmare, valoarea DOAMNA LK la punct ÎN mai puțin decât la un moment dat O . În consecință, punctul ÎN va corespunde unui raport capital-muncă mai mic decât la un moment dat O .

Astfel, legătura dintre modificarea raportului capital-muncă și rata marginală de substituție a muncii cu capitalul devine evidentă, adică ajungem din nou la conceptul de elasticitate și anume elasticitatea substituirii muncii cu capitalul, care arată cu ce procent se va modifica raportul capital-muncă atunci când rata marginală a substituirii forței de muncă cu capital se modifică cu un procent:

(4.4)

De asemenea, se poate arăta grafic că pe măsură ce curbura izocuantei crește, elasticitatea Eσ scade (vezi Orez. 4.3).

Fig 4.3

Rețineți că în ambele cazuri la puncte O Şi ÎN valorile DOAMNA LK rămân aceleași, iar valoarea raportului capital-muncă la momentul respectiv O mai mare decât la punct ÎN . Aceasta implică o altă proprietate importantă: pentru un PF omogen, elasticitatea substituirii muncii cu capitalul depinde doar de raportul capital-muncă și rămâne constantă de-a lungul razelor care emană din punctul zero.

Să exprimăm legătura dintre DOAMNA LK Şi k cu elasticitate constantă Eσ . Conform (4.4) avem:

(4.5)

Presupunând dependență DOAMNA LK(k) , putem scrie (4.5) sub forma unei ecuații diferențiale obișnuite:

(4.6)

Integrarea (4.6) dă:

sau după conversie:

, Unde

În consecință, condiția de constanță a elasticității substituției muncii cu capital dă o relație putere-lege între cantități. DOAMNA LK Şi k . În consecință, cazul elasticității unitare va corespunde unei relații liniare între mărimile indicate:

Introducerea conceptului de elasticitate constantă a substituției a condus la forma generală a unui PF omogen, pentru care elasticitatea substituției factorilor este constantă. Astfel de PF se numesc PF clasa CES (Elasticitatea constantă a substituției). Funcțiile acestei clase au fost propuse mai întâi Arrow de Kenneth Şi Solow de Robert în 1961. Funcțiile acestei clase presupun că înlocuirea muncii cu capital este posibilă numai în anumite limite și nu există tehnologii care să permită producerea unei cantități date de produs la costuri ale factorilor de producție sub anumite valori critice. (Geometric, aceasta înseamnă că este posibil să se construiască asimptote la izocuanta, iar acestea vor corespunde valorilor minime posibile ale muncii și capitalului. Este posibil să se obțină relații matematice pentru asimptote; nu vom prezenta acest material în această prezentare.)

Multe PF sunt în esență cazuri speciale sau limitative ale funcțiilor CES, ale căror principale caracteristici sunt date în Tabelul 4.1.

Tabelul 4.1

Conceptul de sistem de producție și proces de producție. Proces tehnologic și set tehnologic

Sarcina principală a oricărui proces de producție este de a crea valoare adăugată și un nou produs economic, care apoi participă la procesele ulterioare de schimb și consum. Se știe că procesul de producție este o condiție pentru apariția proceselor de consum pe de o parte, iar pe de altă parte, încetarea consumului duce la încetarea procesului de producție. In consecinta, dezvoltarea proceselor de productie este determinata de comportamentul economic al consumatorului. Această relație poate fi reprezentată sub forma următorului model conceptual de funcționare a unei entități economice:

Veriga centrală este modelul procesului de producție, care leagă variabilele de intrare ale sistemului de producție cu variabilele de ieșire; modelul pieței resurselor este o condiție necesară pentru funcționarea procesului de producție; modelul pieței mărfurilor este o condiție necesară pentru existența și reluarea procesului de producție; model decizional - alegerea celei mai bune, într-un anumit sens, decizie a unui producător de mărfuri cu privire la volumele de producție pe baza informațiilor despre condițiile pieței și capacitățile de producție.

Ideile moderne în domeniul modelării proceselor de producție se bazează pe teorii economiști -neoclasic , care a propus un model al persoanei „economice”, al cărei comportament economic este determinat de funcția de utilitate.

Astfel, procesul de productie este procesul de creare a valorii adăugate prin transformarea intenționată a unui set de bunuri în altul. Se numeste sistemul economic in care se organizeaza si se desfasoara procesul de productie sistem de producție sau producție. Scopul oricărui sistem de producție este starea viitoare finală dorită sau rezultatul activității economice. Din punctul de vedere al teoriei economice neoclasice, obiectivele producătorului sunt de a maximiza veniturile sau profitul, sau de a minimiza costurile. Se numesc bunurile consumate in timpul procesului de productie factori de producţie, bunuri primite ca urmare a procesului de productie – produse de productie.

Din acest punct de vedere, orice sistem de producție cu o structură internă complexă este o „cutie neagră”, în timp ce informațiile despre factorii de producție (informații de intrare) și produsul de producție (rezultatul) sunt cunoscute, iar structura internă necunoscută este descrisă folosind unele producții. funcţie. Trebuie amintit că modelul „cutie neagră” este util pentru un economist, dar este inutil pentru un manager care reformează structura organizațională și procesele din cadrul sistemului.

Pe lângă conceptul de funcții de producție, concepte precum conceptul de elasticitate a factorilor de producție și rata marginală de substituție a factorilor de producție sunt importante pentru modelarea proceselor de producție, deoarece resursele din sistemul de producție pot acționa ca bunuri de înlocuire. În plus, într-un proces real de producție, este imposibil să se producă un produs în absența completă a oricărui factor de producție, adică se poate vorbi despre complementaritatea factorilor de producție, adică despre lor. complementaritatea.

Tehnologie- este o modalitate tehnică de transformare a factorilor de producție în produse. Există un număr mare de tehnologii disponibile, dintre care producătorii aleg cele mai eficiente. Tehnologia definește relația dintre un element u dintre factorii de producţie şi element v din zona produsului. Proces este un ansamblu de relații între elemente tu i Şi v j (), prin urmare este cel mai simplu model al procesului de producție. La rândul său, se formează ansamblul proceselor tehnologice set tehnologic . Seturile tehnologice au următoarele proprietăți:

1. imposibilitatea existenței unei „cornucopia”, adică un proces tehnologic zero (fără costurile factorilor de producție) aparține ansamblului tehnologic și înseamnă inacțiune;

2. mulţimea tehnologică este convexă, adică procesele tehnologice pot fi combinate (unele procese tehnologice pot fi o combinaţie convexă a altora);

3. ansamblul tehnologic este limitat de sus, care este asociat cu resursele (factorii de producție) limitate (epuizabile);

4. setul tehnologic este închis, adică are limite.

Eficient procesele tehnologice sunt descrise prin puncte situate pe granița efectivă a unui set tehnologic convex.

Metoda seturilor tehnologice face posibilă descrierea producției cu mai multe articole, deoarece o tranziție strictă de la seturile tehnologice la funcțiile de producție este posibilă prin agregarea factorilor de producție și a produselor.

În concluzie, observăm că există două abordări alternative pentru rezolvarea problemei controlului optim al proceselor de producție. Prima abordare are în vedere problema maximizării producției unui produs sub constrângeri bugetare fixe. Rezolvarea acestei probleme se bazează pe analiza funcției de producție a sistemului de producție, luând în considerare valoarea de piață a forței de muncă și a capitalului și mărimea bugetului de producție. A doua abordare rezolvă problema minimizării costurilor de producție la un anumit nivel de producție a produsului. Această problemă este rezolvată folosind o funcție de cost care poate fi calculată dintr-o funcție de producție existentă. Aceste două abordări conduc la același rezultat la rezolvarea problemelor de optimizare. ( Amintiți-vă de dualitate!).

1. 
   Descrierea tehnologiei: funcția de producție, set de factori de producție utilizați, harta izocuantă.

Funcția de producție – dependența tehnologică între costurile resurselor și producția de produs.

Exprimată formal, funcția de producție arată astfel:

Să presupunem că funcția de producție descrie producția în funcție de forța de muncă și de capital, adică să considerăm un model cu doi factori. Aceeași cantitate de ieșire poate fi obținută cu diferite combinații de intrări ale acestor resurse. Puteți folosi un număr mic de mașini (adică, vă descurcați cu o investiție mică de capital), dar va trebui să cheltuiți o cantitate mare de muncă; Este posibil, dimpotrivă, să se mecanizeze anumite operații, să se mărească numărul de mașini și prin urmare să se reducă costurile cu forța de muncă. Dacă pentru toate astfel de combinații cel mai mare volum posibil de ieșire rămâne constant, atunci aceste combinații sunt reprezentate de puncte situate pe același izocuanta. Adică, o izocuanta este o linie de ieșire sau cantitate egală. În grafic, x1 și x2 sunt resursele utilizate.

Fixând o cantitate diferită de producție, obținem o altă izocuanta, adică aceeași funcție de producție are harta izocuanta.

Proprietățile izocuantelor:

1. 
   izocuantele au o pantă negativă. Există o relație inversă între resurse, adică prin reducerea cantității de muncă este necesară creșterea cantității de capital pentru a rămâne la același nivel de producție.
2. 
   izocuantele sunt convexe în raport cu originea. După cum sa menționat deja, atunci când se reduce utilizarea unei resurse, este necesar să se crească utilizarea unei alte resurse. Convexitatea curbei de indiferență față de origine este o consecință a scăderii ratei marginale de substituție tehnologică (MRTS). MRTS este descris în detaliu în al treilea bilet. O coborâre ușoară în jos a izocuantei indică o scădere a ratei de înlocuire a unei resurse cu alta pe măsură ce ponderea acestui bun în producție scade.
3. 
   valoarea absolută a pantei izocuantei este egală cu rata marginală de substituție tehnologică. Panta izocuantei într-un punct dat arată rata în funcție de care o resursă poate fi înlocuită cu alta fără a câștiga sau pierde cantitatea de bunuri produse.
4. 
   izocuantele nu se intersectează. Același nivel de producție nu poate fi caracterizat de mai multe izocuante, ceea ce contrazice definiția lor.

1. 
   Justificarea matematică și sensul economic al scăderii ratei marginale de substituție tehnologică.

Să luăm în considerare (înlocuirea CAPITALULUI cu MUNCĂ). Adică la cât capital este dispus să renunțe un producător pentru a obține 1 unitate de muncă. Este necesar să se demonstreze că acest indicator este în scădere.
)

Dar din moment ce Q=const, deci dQ=0

După cum se știe, produsul marginal al muncii scade (deoarece un producător rațional lucrează în a doua etapă a producției), prin urmare, cu o creștere a forței de muncă, MPL va scădea, iar MPK va crește, deoarece cantitatea de capital scade, prin urmare, va scadea.

Motivul economic al scăderii MRTS este că în majoritatea industriilor factorii de producție nu sunt complet interschimbabili: se completează reciproc în procesul de producție. Fiecare factor poate face ceva ce un alt factor de producție nu poate face sau poate face mai rău.

1. 
   Elasticitatea substituirii factorilor de productie (reprezentare obisnuita si logaritmica). Curbură izocuantă și flexibilitate tehnologică

Elasticitatea substituției factorilor de producție este un indicator utilizat în teoria economică care arată cu ce procent trebuie să se modifice raportul factorilor de producție atunci când rata marginală de substituție a acestora se modifică cu 1%, astfel încât volumul producției rămâne neschimbat.

Să determinăm rata marginală de înlocuire a capitalului cu forța de muncă sub tehnologie

Apoi din biletul anterior rezultă:

La trasarea grafică MRTS corespunde tangentei unghiului de înclinare a tangentei la izocuanta în punctul care indică volumele necesare de muncă și capital pentru a produce un volum dat de producție.

Pentru o anumită tehnologie, fiecare valoare a raportului capital-muncă (un punct pe izocuanta) corespunde propriei relații între productivitatea marginală a factorilor de producție. Cu alte cuvinte, una dintre caracteristicile specifice ale tehnologiei este cât de mult se modifică raportul dintre productivitatea marginală a capitalului și a muncii cu o mică modificare a raportului capital-muncă, adică cantitatea de capital utilizată. Acest lucru este prezentat grafic prin gradul de curbură al izocuantei. O măsură cantitativă a acestei proprietăți a tehnologiei este elasticitatea de substituție a factorilor de producție, care arată cu ce procent trebuie să se modifice raportul capital-muncă, astfel încât atunci când raportul productivității factorilor se modifică cu 1%, producția rămâne neschimbată. Să notăm ; apoi elasticitatea substituirii factorilor de productie

laQ= const

Aceasta este reprezentarea logaritmică. Pzdts)

Să notăm - rata maximă de înlocuire a factorului al-lea cu factorul-lea și - raportul dintre numărul acestor factori utilizați în producție. Atunci elasticitatea de substituție va fi egală cu:

În acest caz se poate demonstra că

Singurul lucru pe care nu l-am putut găsi a fost rezultatul acestui „...”.

Curbura izocuantei ilustrează elasticitatea substituției factorilor în producerea unui volum dat de produs și reflectă cât de ușor poate fi înlocuit un factor cu altul. În cazul în care izocuanta este similară cu un unghi drept, probabilitatea de a înlocui un factor cu altul este extrem de mică. Dacă izocuanta arată ca o linie dreaptă cu o pantă descendentă, atunci probabilitatea de a înlocui un factor cu altul este semnificativă. (Vezi mai multe detalii despre diferite tipuri de funcții în al cincilea bilet)

Mai mult, atunci când izocuanta este continuă, caracterizează flexibilitatea tehnologiei. Adică, compania are un număr mare de opțiuni de producție.

Pentru o mai bună înțelegere a acestei porcării, citiți a 5-a, totul este scris acolo.

1. 
   Tipuri speciale de funcții de producție (liniare, Leontief, Cobb-Douglas, CES): reprezentare analitică, grafică și economică; sensul economic al coeficienților; revine la scară; elasticitatea producției de către factorii de producție; elasticitatea substituirii factorilor de productie.

Substituibilitatea perfectă a resurselor sau funcția liniară de producție

Dacă resursele utilizate în procesul de producție sunt absolut înlocuibile, atunci izocuanta este constantă în toate punctele, iar harta izocuanta arată ca în Figura 14.2. (Un exemplu de astfel de producție este producția care permite atât automatizarea completă, cât și producția manuală a oricărui produs).

Q=a*K+b*L, unde K:L=b/a este proporția de înlocuire a unei resurse cu alta (b este punctul de intersecție Q1 al axei OK, a este axa OL)

Randamente constante la scară, elasticitatea substituției resurselor este infinită, MRTSlk=-b/a, elasticitatea producției pentru muncă - b, pentru capital - a.

Structura fixă ​​a utilizării resurselor, cunoscută și sub numele de funcția lui Leonov

Dacă procesul tehnologic exclude înlocuirea unui factor cu altul și necesită utilizarea ambelor resurse în proporții strict fixate, funcția de producție are forma unei litere latine, ca în figura 14.3.

Un exemplu de acest fel este munca unei marine (o lopată și o persoană). O creștere a unuia dintre factori fără o modificare corespunzătoare a cantității altui factor este irațională, prin urmare, numai combinațiile unghiulare de resurse vor fi eficiente din punct de vedere tehnic (un punct unghiular este punctul în care liniile orizontale și verticale corespunzătoare se intersectează).

Q=min(aK;bL);Reveniri constante la scară, K:L=b:o proporție de adunare, MRTSlk=0, elasticitatea substituției 0, elasticitatea ieșirii 0.

Funcția Cobb-Douglas

A-caracterizează tehnologia.

Elasticitatea de substituire a factorilor poate fi oricare, randamentele la scară (1-constant, mai mică de unu - descrescătoare, mai mare de unu - crescătoare), elasticitatea producției de către factorii de producție pentru capital - alfa, pentru muncă - beta, elasticitatea de substituirea factorilor

FuncţieCES

Funcția CES (CES - Constant Elastisity of Substitution) este o funcție utilizată în teoria economică care are proprietatea de elasticitate constantă a substituției. Uneori este folosit și pentru a modela funcția de utilitate. Această funcție este utilizată în primul rând pentru a modela funcția de producție. Câteva alte funcții de producție populare sunt cazuri speciale sau limitative ale acestei funcții.

Randamentele la scară depind de: mai mare decât 1, randamente crescătoare la scară, mai mici de 1, randamente descrescătoare la scară, egale cu 1, randamente constante la scară.

PENTRU ACEST BILET NU AM GĂSIT ELASTICITATEA LANSARII NICIOUNDE NORMALĂ

1. 
   Conceptul de costuri economice. Izocosturile, semnificația lor economică.

Costurile de oportunitate apar într-o lume cu resurse limitate și, prin urmare, dorințele tuturor oamenilor nu pot fi satisfăcute. Dacă resursele ar fi nelimitate, atunci nicio acțiune nu ar veni în detrimentul alteia, adică costul de oportunitate al oricărei acțiuni ar fi zero. Evident, în lumea reală a resurselor limitate, costurile de oportunitate sunt pozitive.

Pe baza conceptului de costuri de oportunitate, putem spune că costuri economice- acestea sunt plățile pe care firma este obligată să le efectueze, sau veniturile pe care firma este obligată să le furnizeze furnizorului de resurse pentru a deturna aceste resurse de la utilizarea în producție alternativă.

Aceste plăți pot fi fie externe, fie interne.
Costurile externe reprezintă plăți pentru resurse (materii prime, combustibil, servicii de transport - tot ceea ce compania nu produce ea însăși pentru a crea vreun produs) către furnizori care nu aparțin proprietarilor acestei companii.

În plus, o firmă poate folosi anumite resurse pe care le deține. Costurile de deținere și utilizare independentă a unei resurse sunt costuri neplătite sau interne. Din punctul de vedere al firmei, aceste costuri interne sunt egale cu plățile bănești care ar putea fi primite pentru resursa utilizată independent în cel mai bun mod posibil - utilizarea acesteia include și costurile interne profit normal ca remunerație minimă pentru un antreprenor necesară pentru ca acesta să-și continue afacerea și să nu treacă la altul. Astfel, costurile economice arată astfel:

Costuri economice = Costuri externe + Costuri interne (inclusiv profitul normal)

Isocosta– o linie dreaptă care arată toate combinațiile de factori de producție la o sumă fixă ​​a costurilor totale.

Un set de izocuanți pentru o firmă individuală (hartă izocuantă) arată combinațiile posibile din punct de vedere tehnic de resurse care oferă firmei volumele de producție adecvate.

Atunci când alege combinația optimă de resurse, un producător trebuie să ia în considerare nu numai tehnologia disponibilă, ci și resursele tale financiare, și de asemenea preţurile factorilor relevanţi de producţie.

Combinația acestor doi factori determină zona de resurse economice de care dispune producătorul (constrângerea bugetară a acestuia).

B Constrângerea bugetară a producătorului poate fi scrisă ca o inegalitate:

P K *K+P L *L TC, unde

PK, PL -pretul capitalului, pretul muncii;

TC – costurile totale ale firmei pentru achiziţia de resurse.

Dacă producătorul (firma) își cheltuiește toate fondurile pentru achiziția acestor resurse, obținem următoarea egalitate:

P K *K+P L *L=TC

Pe grafic, izocostul este determinat în axele L, K, prin urmare, pentru construcție, este convenabil să aduceți egalitatea în următoarea formă:

– ecuația de izocost.

Panta liniei izocostului este determinată de raportul dintre prețurile pieței pentru muncă și capital: (- P L / P K)

K

L

Să considerăm o economie cu l bunuri. Pentru o anumită firmă, este firesc să se considere unele dintre aceste bunuri ca factori de producție, iar altele ca produse de producție. Trebuie remarcat faptul că această diviziune este destul de arbitrară, deoarece compania are suficientă libertate în alegerea gamei de produse produse și a structurii costurilor. Când descriem tehnologia, vom face distincția între producție și costuri, reprezentând acestea din urmă ca producție cu semnul minus. Pentru comoditatea prezentării tehnologiei, produsele care nu sunt nici consumate, nici produse de companie vor fi clasificate ca producție, iar volumul de producție al acestor produse va fi considerat egal cu 0. În principiu, o situație în care un produs produs de nu poate fi exclusă o întreprindere consumată și de aceasta în procesul de producție. În acest caz, vom lua în considerare numai producția netă a acestui produs, adică producția sa minus costurile.

Fie numărul de factori de producție egal cu n, iar numărul de tipuri de producție egal cu m, astfel încât l = m + n. Să notăm vectorul costurilor (în valoare absolută) cu r Rn + , iar volumul producției cu y Rm + . Vom numi vectorul (−r, yo ) vector al problemelor nete. Mulțimea tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete y = (−r, yo ) este set tehnologic Y. Astfel, în cazul în cauză, orice mulțime tehnologică este o submulțime a lui Rn − × Rm +.

Această descriere a producției este de natură generală. În același timp, este posibil să nu respectați o divizare strictă a mărfurilor în produse și factori de producție: același bun poate fi cheltuit cu o tehnologie și produs cu alta. În acest caz, Y Rl.

Să descriem proprietățile seturilor tehnologice, în termenii cărora sunt descrise de obicei clase specifice de tehnologii.

1. Neviditatea

Mulțimea tehnologică Y este nevidă.

Această proprietate înseamnă posibilitatea fundamentală de a desfășura activități de producție.

2. Închidere

Setul tehnologic Y este închis.

Această proprietate este mai degrabă tehnică; înseamnă că setul tehnologic conține limita sa, iar limita oricărei secvențe de vectori de ieșire netă realizabili din punct de vedere tehnologic este, de asemenea, un vector de ieșire net fezabil din punct de vedere tehnologic.

3. Libertatea de a cheltui:

dacă y Y și y0 6 y, atunci y0 Y.

Această proprietate poate fi interpretată ca abilitatea de a produce aceeași cantitate de producție, dar la costuri mai mari, sau mai puțină producție la aceleași costuri.

4. Fără „cornucopia” („fără prânz gratuit”)

dacă y Y și y > 0, atunci y = 0.

Această proprietate înseamnă că pentru a produce un produs într-o cantitate pozitivă, sunt necesare costuri într-un volum diferit de zero.

Orez. 4.1. Varietate tehnologică cu randamente crescânde la scară.

5. Randamente la scară necrescătoare:

dacă y Y și y0 = λy, unde 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Această proprietate este uneori numită (nu în totalitate exact) randamente descrescătoare la scară. În cazul a două bunuri, în care unul este cheltuit și celălalt este produs, randamentele descrescătoare înseamnă că productivitatea medie (maximum posibilă) a input-ului nu crește. Dacă într-o oră poți rezolva, în cel mai bun caz, 5 probleme similare în microeconomie, atunci în două ore, în condiții de rentabilitate descrescătoare, nu ai putea rezolva mai mult de 10 astfel de probleme.

50. Randamente la scară nedescrescătoare:

dacă y Y și y0 = λy, unde λ > 1, atunci y0 Y.

În cazul a două bunuri, în care unul este cheltuit și celălalt este produs, randamentele crescătoare înseamnă că productivitatea medie (maximum posibilă) a input-ului nu scade.

500. Revenirile constante la scară este o situație în care setul tehnologic satisface condițiile 5 și 50 simultan, adică.

dacă y Y și y0 = λy0 , atunci y0 Y λ > 0.

Din punct de vedere geometric, revenirile constante la scară înseamnă că Y este un con (eventual să nu conțină 0).

În cazul a două bunuri, în care unul este input și celălalt este produs, producția constantă înseamnă că productivitatea medie a inputului nu se modifică pe măsură ce ieșirea se modifică.

Orez. 4.2. Tehnologia convexă stabilită cu randamente descrescătoare la scară

Proprietatea de convexitate înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologii în orice proporție.

7. Ireversibilitate

dacă y Y și y 6= 0, atunci (−y) / Y.

Să presupunem că puteți produce 5 rulmenți dintr-un kilogram de oțel. Ireversibilitatea înseamnă că este imposibil să se producă un kilogram de oțel din 5 rulmenți.

8. Aditivitate.

dacă y Y și y0 Y , atunci y + y0 Y.

Proprietatea aditivității înseamnă capacitatea de a combina tehnologii.

9. Acceptabilitatea inactivității:

Teorema 44:

1) Din randamentele necrescătoare la scară și aditivitatea ansamblului tehnologic urmează convexitatea acestuia.

2) Randamentele la scară necrescătoare rezultă din convexitatea setului tehnologic și din permisiunea inactivității. (Reversul nu este întotdeauna adevărat: cu randamente necrescătoare, tehnologia poate fi neconvexă, vezi Fig. 4.3 .)

3) Setul tehnologic are proprietăți de aditivitate și de necreștere

revine la scară dacă și numai dacă este un con convex.

Orez. 4.3. Un set tehnologic neconvex cu randamente la scară necrescătoare.

Nu toate tehnologiile eligibile sunt la fel de importante din punct de vedere economic. Dintre cele admisibile se remarcă unele speciale tehnologii eficiente. O tehnologie admisibilă y este de obicei numită eficientă dacă nu există altă tehnologie admisibilă (diferită de aceasta) y0 astfel încât y0 > y. Evident, această definiție a eficienței implică implicit că toate bunurile sunt într-un fel de dorit. Tehnologiile eficiente constituie frontieră eficientă set tehnologic. În anumite condiții, devine posibilă utilizarea frontierei efective în analiză în locul întregului set tehnologic. În acest caz, este important ca pentru orice tehnologie admisibilă y să existe o tehnologie eficientă y0 astfel încât y0 > y. Pentru ca această condiție să fie îndeplinită, se cere ca ansamblul tehnologic să fie închis, iar în cadrul ansamblului tehnologic să fie imposibilă creșterea producției unui bun la nesfârșit fără a reduce producția altor bunuri. Se poate demonstra că dacă este tehnologic

Orez. 4.4. Tehnologia eficientă a stabilit limite

multimea are proprietatea libertatii de cheltuieli, atunci granita efectiva defineste in mod unic multimea tehnologica corespunzatoare.

Cursurile introductive și intermediare, atunci când descriu comportamentul unui producător, se bazează pe reprezentarea ansamblului său de producție printr-o funcție de producție. O întrebare relevantă este în ce condiții pe setul de producție este posibilă o astfel de reprezentare. Deși este posibil să oferim o definiție mai largă a funcției de producție, în continuare vom vorbi doar despre tehnologiile „un singur produs”, adică m = 1.

Fie R proiecția mulțimii tehnologice Y pe spațiul vectorilor de cost, i.e.

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

Definiția 37:

Se apelează funcția f(·) : R 7→R functia de productie, reprezentând tehnologia Y, dacă pentru fiecare r R valoarea f(r) este valoarea următoarei probleme:

yo → max

(−r, yo) Y.

Rețineți că orice punct de pe granița efectivă a mulțimii tehnologice are forma (−r, f(r)). Reversul este adevărat dacă f(r) este o funcție crescătoare. În acest caz, yo = f(r) este ecuația de frontieră efectivă.

Următoarea teoremă oferă condițiile în care o mulțime tehnologică poate fi reprezentată??? functia de productie.

Teorema 45:

Fie pentru o mulțime tehnologică Y R × (−R) pentru orice r R mulțimea

F (r) = (yo | (−r, yo) Y)

închis și mărginit de sus. Atunci Y poate fi reprezentat printr-o funcție de producție.

Notă: Îndeplinirea condițiilor din această declarație poate fi garantată, de exemplu, dacă mulțimea Y ​​este închisă și are proprietățile randamentelor la scară necrescătoare și absența unei cornucopii.

Teorema 46:

Fie mulțimea Y ​​să fie închisă și să aibă proprietățile randamentelor la scară necrescătoare și absența unei cornucopii. Atunci pentru orice r R multimea

F (r) = (yo | (−r, yo) Y)

închis și mărginit de sus.

Dovada: Închiderea mulțimilor F (r) rezultă direct din închiderea lui Y. Să arătăm că F (r) sunt mărginite de sus. Să nu fie așa și pentru un r R există

există o succesiune infinit crescătoare (yn) astfel încât yn F (r). Apoi, datorită randamentelor necrescătoare la scară (−r/yn , 1) Y . Prin urmare (din cauza închiderii), (0, 1) Y , ceea ce contrazice absența unei cornucopii.

De asemenea, rețineți că, dacă mulțimea tehnologică Y satisface ipoteza de cheltuieli libere și există o funcție de producție f(·) care o reprezintă, atunci mulțimea Y ​​este descrisă de următoarea relație:

Y = ( (−r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Să stabilim acum câteva relații între proprietățile ansamblului tehnologic și funcția de producție care îl reprezintă.

Teorema 47:

Fie mulțimea tehnologică Y astfel încât pentru tot r R este definită funcția de producție f(·). Atunci următoarele sunt adevărate.

1) Dacă mulțimea Y ​​este convexă, atunci funcția f(·) este concavă.

2) Dacă mulțimea Y ​​satisface ipoteza de cheltuire liberă, atunci este și inversul adevărat, adică dacă funcția f(·) este concavă, atunci mulțimea Y ​​este convexă.

3) Dacă Y este convex, atunci f(·) este continuă în interiorul mulțimii R.

4) Dacă mulţimea Y ​​are proprietatea libertăţii de a cheltui, atunci funcţia f(·) nu scade.

5) Dacă Y are proprietatea de a lipsi cornul abundenței, atunci f(0) 6 0.

6) Dacă mulțimea Y ​​are proprietatea de inactivitate permisă, atunci f(0) > 0.

Demonstrație: (1) Fie r0 , r00 R. Atunci (−r0 , f(r0 )) Y și (−r00 , f(r00 )) Y , și

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

deoarece mulţimea Y ​​este convexă. Apoi, prin definiția funcției de producție

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

ceea ce înseamnă că f(·) este concav.

(2) Întrucât mulțimea Y ​​are proprietatea de a cheltui liber, mulțimea Y ​​(până la semnul vectorului cost) coincide cu subgraful său. Iar subgraful unei funcții concave este o mulțime convexă.

(3) Faptul de demonstrat rezultă din faptul că o funcție concavă este continuă în interior.

mărimea domeniului său de definire.

(4) Fie r 00 > r0 (r0 , r00 R). Deoarece (−r0 , f(r0 )) Y , atunci prin proprietatea libertăţii de a cheltui (−r00 , f(r0 )) Y . Prin urmare, prin definiția funcției de producție, f(r00) > f(r0), adică f(·) nu scade.

(5) Inegalitatea f(0) > 0 contrazice ipoteza absenței unei cornucopii. Deci f(0) 6 0.

(6) Prin ipoteza admisibilității inactivității (0, 0) Y . Deci, prin definiție

Presupunând existența unei funcții de producție, proprietățile unei tehnologii pot fi descrise direct în termenii acestei funcții. Să demonstrăm acest lucru folosind exemplul așa-numitei elasticități a scării.

Fie funcția de producție diferențiabilă. În punctul r, unde f(r) > 0, definim

elasticitatea locală a scalei e(r) ca:

Dacă la un moment dat e(r) este egal cu 1, atunci se consideră că în acest moment reveniri constante la scară, dacă mai mult de 1 atunci randamente crescânde, Mai puțin - randamente descrescătoare la scară. Definiția de mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i .

Teorema 48:

Fie mulţimea tehnologică Y descrisă de funcţia de producţie f(·) şi

V la punctul r avem e(r) > 0. Atunci este adevărat:

1) Dacă mulțimea tehnologică Y are proprietatea randamentelor descrescătoare la scară, atunci e(r) 6 1.

2) Dacă mulțimea tehnologică Y are proprietatea de a crește randamentele la scară, atunci e(r) > 1.

3) Dacă Y are proprietatea retururilor constante la scară, atunci e(r) = 1.

Dovada: (1) Se consideră șirul (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λn f(r). Să rescriem această inegalitate ca:

Mulțimile tehnologice Y pot fi specificate în formular funcţii implicite de producţie g(·). Prin definiție, o funcție g(·) se numește funcție implicită de producție dacă tehnologia y aparține mulțimii tehnologice Y dacă și numai dacă g(y) >

Rețineți că o astfel de funcție poate fi întotdeauna găsită. De exemplu, o funcție adecvată este astfel încât g(y) = 1 pentru y Y și g(y) = −1 pentru y / Y . Rețineți, totuși, că această funcție nu este diferențiabilă. În general, nu orice set tehnologic poate fi descris printr-o funcție de producție implicită diferențiabilă, iar astfel de seturi tehnologice nu sunt ceva excepțional. În special, seturile tehnologice luate în considerare în cursurile inițiale de microeconomie sunt adesea astfel încât descrierea lor necesită două (sau mai multe) inegalități cu funcții diferențiabile, deoarece este necesar să se țină seama de restricții suplimentare privind non-negativitatea factorilor de producție. Pentru a ține seama de astfel de restricții, se poate folosi vector implicit