Divizor normal de grup. Grup de factori

Clasele conexe. Descompunerea unui grup într-un subgrup

Fie un grup, să fie subgrupul său și să fie un element arbitrar al grupului. Să facem un set. Acest set nevid este numit clasele stânga grupuri pe subgrup definite de element. Setul este numit sectia dreapta grupuri pe subgrup definite de element. În general.

Problema 61. B găsiți clasele din dreapta și din stânga definite de elementul dacă subgrupul .

Soluţie.

Să creăm clase

Notă, .

Fie un grup și fie subgrupul său.

Dacă , atunci ei spun că grupul după subgrup este descompus într-o singură categorie.

Dacă, atunci există un element în și atunci vom crea o clasă.

Dacă , atunci se spune că grupul este descompus de subgrup în două clase din stânga.

Dacă , atunci avem o descompunere a grupului în trei clase în raport cu subgrupul etc.

Procesul de descompunere a unui grup într-un subgrup în seturi din stânga poate fi finit sau infinit.

În mod similar, putem obține o descompunere a unui grup după subgrup în seturi drepte: .

Descompunerea dreaptă nu trebuie să coincidă cu descompunerea stângă.

Ca rezultat, obținem două seturi de clase:

Și sunt seturile de factori stânga și dreapta ale mulțimii după submulțimi. Lungimea acestor seturi se numește index subgrupuri dintr-un grup.

Problema 62. Aflați mulțimea de factori a unei mulțimi pe subgrup în raport cu operația de adunare.

Soluţie. Operația de adăugare a este comutativă, deci expansiunile din stânga și din dreapta vor fi aceleași. Să ne descompunem în clasele din stânga.

De exemplu, . Construim. . Avem o descompunere în două clase adiacente. Setul de factori: .

Problema 63.În grupa multiplicativă

Să luăm un subgrup. Găsiți setul de factori al unei mulțimi cu .

Soluţie. Cu o expansiune pe mâna stângă avem:

Adică un set de factori pe partea stângă.

Cu o expansiune pe dreapta avem:

Adică un set de factori din partea dreaptă și , .

Indicele subgrupului în este 3.

Problema 64. Găsiți descompunerea grupului aditiv în subgrupul de numere întregi care sunt multipli ai lui 3.

Soluţie. .

De exemplu, . Să ne inventăm. Prin urmare, clasa este formată din toate numerele întregi care, atunci când sunt împărțite la 3, lasă un rest de 1. , de exemplu, , . Să ne inventăm. În consecință, clasa este formată din toate numerele întregi care, împărțite cu 3, lasă un rest de 2. Deci, în sunt toate numerele întregi care, împărțite cu 3, lasă un rest de 0, în clasă sunt toate numerele întregi care sunt împărțite. cu 3, dând în rest 1, în clasă - toate numerele cu rest 2. Dar când sunt împărțite la 3, sunt posibile numai resturile 0, 1, 2. Aceasta înseamnă că toate numerele întregi sunt distribuite în clase, adică descompunerea în clase adiacente prin are forma: . Deoarece adăugarea este comutativă, expansiunea din stânga coincide cu expansiunea din dreapta. Indicele subgrupului în este 3.

Divizor normal de grup. Grup de factori

Dacă un grup are un subgrup relativ pentru orice element, adică dacă orice element al grupului comută cu subgrupul, atunci subgrupul se numește divizor normal al grupului.

Dacă o operație dintr-un grup este comutativă, atunci orice subgrup din grup este un divizor normal. Dacă, cu o descompunere pe partea stângă și o descompunere pe partea dreaptă a unui grup într-un subgrup, clasele în care se descompune grupul se dovedesc a fi identice, atunci este un divizor normal al grupului. Reversul este, de asemenea, adevărat: dacă este un divizor normal în grup, atunci cu o descompunere pe partea stângă și o descompunere pe partea dreaptă a grupului într-un subgrup, clasele în care se descompune grupul se dovedesc a fi identice.

Este un divizor normal al unui grup dacă și numai dacă pentru orice element.

Problema 65. Dacă indicele de subgrup al unui grup este 2, atunci este divizorul normal al grupului.

Soluţie. Dacă un subgrup are indicele 2 în grup, atunci , unde și , adică . În consecință, clasele de descompunere din partea stângă coincid cu clasele corespunzătoare ale descompunerii din partea dreaptă, adică este un divizor normal al grupului.

Problema 66. Va fi grupul din problema 63 un divizor normal al grupului?

Soluţie. Descompunerea din partea stângă a unui grup într-un subgrup constă din clasele și . Descompunerea din dreapta constă din clasele , , , dar , , adică subgrupul nu este un divizor normal al grupului .

Problema 67. Găsiți grupul de factori al grupului având în vedere subgrupul tuturor numerelor care sunt multipli ai lui 3.

Soluţie. Deoarece adunarea în este comutativă, este un divizor normal. Să găsim expansiunea în: . Un set de factori este format din clase. Să setăm operația de adăugare:

Completarea tabelului Cayley se face conform regulii:

De exemplu, . Acest set este format din toate numerele întregi, unde, adică . Apoi . Deci, am obținut un grup de factori, operația de adunare în care este dată de tabelul Cayley menționat mai sus.

Problema 68. Găsiți grupul de factori al unui grup după subgrup.

Soluţie. este un divizor normal, deoarece adunarea în este comutativă. Să găsim expansiunea în: . Într-adevăr, să-l descriem pe axa numerelor și să marchem elementele de pe el cu puncte:

Să-l construim unde. Dacă , atunci , dacă , atunci marchem elementele cu asteriscuri. Apoi constă din elemente marcate cu puncte și asteriscuri. Acest set nu include un element, de exemplu, . Apoi construim o mulțime ale cărei elemente le notăm cu un prim. Apoi este format din elemente indicate prin puncte, asteriscuri și numere prime, dar nu coincide cu . Evident, pentru a coincide cu , este necesar ca .

Am construit un set de factori. Conform procedurii de factorizare, operația de adunare este definită astfel: , unde , .

Introducere 2
1. Definiție și exemple de grupuri 4
2. Subgrupuri 8
3. Grupuri ciclice. 13
4. Divizori normali, grupuri de factori 17
5. Idealul unui subgrup în cadrul unui grup. Teorema lui Lagrange și consecințele ei. 22
6. Folosirea divizorilor normali ai grupurilor la rezolvarea problemelor 26
Concluzia 29
Referințe 30

Introducere

Algebra superioară este o generalizare de anvergură, dar destul de naturală, a conținutului principal al cursului școlar de algebră elementară. Algebra liniară, care este o știință mare dedicată în principal teoriei matricelor și teoriei aferente transformărilor liniare ale spațiilor vectoriale, include și teoria formelor, teoria invarianților și algebrei tensorale, care joacă un rol important în geometria diferențială. Teoria spațiilor vectoriale este dezvoltată în continuare în afara algebrei, în analiza funcțională (spații infinit-dimensionale). În ceea ce privește varietatea și semnificația aplicațiilor sale atât în ​​matematică, cât și în mecanică, fizică și științe tehnice, algebra liniară rămâne prima dintre numeroasele ramuri ale algebrei.
Teoria câmpului s-a dovedit a fi un domeniu natural pentru dezvoltare ulterioară teoria ecuațiilor și ramurile sale principale - teoria câmpurilor numerice algebrice și teoria câmpurilor funcțiilor algebrice - o leau, respectiv, cu teoria numerelor și teoria funcțiilor unei variabile complexe. Cursul de algebră superioară include o introducere elementară în teoria câmpurilor, iar unele secțiuni ale cursului - polinoame în mai multe necunoscute, forma normală a unei matrice - sunt prezentate imediat pentru cazul unui câmp fundamental arbitrar.
Mai larg decât conceptul de câmp este conceptul de inel. Spre deosebire de cazul unui câmp, aici nu mai este necesară fezabilitatea împărțirii și, în plus, înmulțirea poate fi necomutativă și chiar neasociativă. Cele mai simple exemple de inele sunt mulțimea tuturor numerelor întregi (inclusiv a celor negative), un sistem de polinoame într-o necunoscută și un sistem de funcții reale ale unei variabile reale. Teoria inelelor include ramuri vechi ale algebrei precum teoria sistemelor hipercomplexe și teoria idealurilor, este asociată cu o serie de științe matematice / în special cu analiza funcțională, și a găsit deja câteva prize în fizică. Cursul algebrei superioare, în esență, conține doar o definiție a conceptului de inel.
Teoria grupurilor are o gamă și mai mare de aplicații. Un grup este un sistem algebric cu o singură operație de bază, iar această operație trebuie să fie asociativă, deși nu neapărat comutativă, și trebuie să aibă o operație inversă - împărțire, dacă operația principală se numește înmulțire. Așa este, de exemplu, colecția de numere întregi luate în considerare cu privire la operația de adunare, precum și colecția de numere reale pozitive luate în considerare cu operația de înmulțire. Grupurile au jucat deja un rol important în teoria Galois, în problema solubilității ecuațiilor în radicali, dar acum sunt un instrument important în teoria câmpului, în multe ramuri ale geometriei, în topologie, precum și în afara matematicii - în cristalografie, în fizica teoretică. În general, în ceea ce privește amploarea domeniului său de aplicații, teoria grupurilor ocupă locul următor după algebra liniară dintre toate ramurile algebrei.
Subiectul acestei lucrări îl reprezintă divizorii normali ai grupurilor.
Sarcini:
1. Definiți un grup și un subgrup, luați în considerare exemple de grupuri.
2. Luați în considerare grupurile ciclice.
3. Luați în considerare conceptul de divizori normali
4. Dați teorema lui Lagrange și consecințele din aceasta.
5. Luați în considerare utilizarea divizorilor normali de grup atunci când rezolvați probleme.

Lista surselor utilizate

1. Kulikov L.Ya. și teoria numerelor: manual. manual pentru institutele pedagogice. – : Mai sus şcoală, 1979. – 559 p., ill.
2. Kostrikin A.I. Introducere în algebră: manual pentru universități. – M.: Fizmatlit, 2004. – 272 p.
3. Faddeev D.K. Culegere de probleme în algebra superioară. – M.: Nauka, 1977. – 288 p.
4. Kurosh A.G. Curs superior de algebră. – M.: Nauka, 1968.
5. Okunev L.Ya. Culegere de probleme în algebra superioară - M.: Educație, 1964.

Volumul total: 30 pp.

An: 2013

Definiții

Subgrup N grupuri G numit normal, dacă este invariant sub conjugări, adică pentru orice element n din Nși orice g din G, element gng − 1 zace in N :

Următoarele condiții normalitățile subgrupului sunt echivalente cu:

Condiția (1) este logic mai slabă decât (2), iar condiția (3) este logic mai slabă decât (4). Prin urmare, condițiile (1) și (3) sunt adesea folosite atunci când se dovedește normalitatea unui subgrup, iar condițiile (2) și (4) sunt folosite pentru a demonstra consecințele normalității.

Exemple

• {e) Și G- întotdeauna subgrupe normale G. Ele sunt numite banale. Dacă nu există alte subgrupuri normale, atunci grupul G numit simplu.

• Centrul grupului este un subgrup normal.

• Un comutator al unui grup este un subgrup normal.

• Orice subgrup caracteristic este normal, deoarece conjugarea este întotdeauna un automorfism.

• Toate subgrupurile N grup abelian G sunt normale pentru că gN = Ng . Un grup non-abelian al cărui subgrup este normal se numește hamiltonian.

• Grupul translațiilor paralele într-un spațiu de orice dimensiune este un subgrup normal al grupului euclidian; de exemplu, în spațiul tridimensional, rotația, translația și rotația în sens opus duce la o translație simplă.

• Într-un grup de cuburi Rubik, un subgrup constând din operații care acționează numai asupra elementelor de colț este normal, deoarece nicio transformare conjugată nu ar determina ca o astfel de operație să acționeze asupra unui element de margine, mai degrabă decât asupra unui element de colț. În schimb, un subgrup format doar din rotații ale feței superioare nu este normal, deoarece perechile permit deplasarea în jos a părților feței superioare.

Proprietăți

• Normalitatea este păstrată sub homomorfisme surjective și luarea de imagini inverse.
• Normalitatea este păstrată la construirea unui produs direct.
• Un subgrup normal al unui subgrup normal nu trebuie să fie normal în grup, adică normalitatea nu este tranzitivă. Cu toate acestea, subgrupul caracteristic al unui subgrup normal este normal.
• Fiecare subgrup al indicelui 2 este normal. Dacă p- cel mai mic divizor de ordin prim G, apoi orice subgrup al indexului p normal.
• Dacă N- subgrup normal în G, apoi pe setul de clase din stânga (dreapta). G / N poti intra in structura grupului conform regulii

• N este normal dacă și numai dacă acționează trivial asupra claselor din stânga G / N .

Fapte istorice

Évariste Galois a fost primul care a înțeles importanța subgrupurilor normale.

Legături

• Vinberg E.B. Curs de algebră - M.: Editura Presa Factorială, 2002, ISBN 5-88688-060-7

Fundația Wikimedia.

• 2010.
• Algoritmul Markov normal

Potențial normal al electrodului

Divizor normal- un subgrup invariant, unul dintre conceptele de bază ale teoriei grupurilor (Vezi Grupa), introdus de E. Galois. N. d al unui grup G este un subgrup H pentru care gH = Hg pentru orice alegere a elementului g al grupului G... Marea Enciclopedie Sovietică

DIVIZIUNEA NORMALA- un subgrup normal, un subgrup invariant, un subgrup H al grupului G, pentru care descompunerea din stânga a grupului G din subgrupul H coincide cu cea din dreapta, adică un subgrup astfel încât pentru orice element clasele aH și Ha sunt egale (în sensul... ... Enciclopedie matematică

Serii normale de subgrupe- Pentru descriere generală teoria grupurilor, vezi Teoria grupurilor (matematică) și Teoria grupurilor. Litere cursive indică o referință la acest dicționar. # A B C D E E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Rând normal- Pentru o descriere generală a teoriei grupurilor, vezi Grupuri (matematică) și Teoria grupurilor. Litere cursive indică o referință la acest dicționar. # A B C D E E F G H I J J K L M N O P R S T U ... Wikipedia este un grup topologic, compact ca grup topologic. spaţiu. De exemplu, fiecare grup finit (într-o topologie discretă) este un grup algebric, deși este un grup topologic compact. spațiu (în raport cu topologia Zariski) ... Enciclopedie matematică

LEE - TEOREMA KOLCHINA- un subgrup rezolvabil G al grupului GL(V) (V este un spațiu vectorial de dimensiuni finite peste un câmp algebric închis) are cel mult un divizor normal G1 de indice unde p depinde doar de dim V, astfel încât în ​​V există un steag invariant în raport cu G1.… … Enciclopedie matematică

GRUP TOPOLOGIC- o multime G, pe care sunt date doua structuri de grup si o structura topologica. spatii conforme cu conditia continuitatii operatiunilor de grup. Și anume, maparea unui produs direct în G trebuie să fie continuă. Subgrupul N T. g. este T. g. Enciclopedie matematică

Teorema lui Lagrange afirmă că dacă , a
, Asta

aceste. comanda
orice subgrup H al unui grup G împarte N – ordinea grupului G.

Desigur, se pune întrebarea despre inversarea teoremei: dacă m este un divizor
, atunci G are un subgrup H de ordinul m?

Cu alte cuvinte: pentru fiecare divizor m de ordinul grupului N, există un subgrup H al grupului G de ordinul m?

În general, răspunsul este negativ, dar în unele cazuri speciale acest lucru recurs Teorema lui Lagrange este adevărată.

Teorema. (inversarea teoremei lui Lagrange )

1. Fiecare subgrup al unui grup ciclic este din nou un grup ciclic.

2. Subgrupuri ale unui grup ciclic infinit

.

3. Subgrupuri ale grupului ciclic de ordin numere .

Dovada.

Să demonstrăm 1 . Lasă – grup ciclic arbitrar de ordine
. Pentru certitudine, vom presupune că – grup de aditivi.

În acest caz, elementul comun al grupului arata ca

Lasă
– un subgrup arbitrar non-trivial al grupului , adică
.

Deoarece
, apoi elementele subgrupului
sunt elemente ale formei
, dar dacă.

Dintre toate elementele formei
, selectați un element

, Unde
– cel mai mic număr pozitiv.

Apoi oricare
poate fi reprezentat ca:

Din ce

dar m este cel mai mic număr care îndeplinește condiția

mgH  r = 0  H = ,

aceste. H este o grupare ciclică cu elementul de formare mg.

Să demonstrăm 2 . Subgrupuri ale unui grup ciclic infinit
sunt epuizate de grupuri infinite
.

Într-adevăr, din moment ce
– grup ciclic cu element generator 1 sau
, adică

apoi, în conformitate cu paragraful 1 al acestei teoreme, orice subgrup H al grupului ciclic
determinat de un număr natural
si arata ca

iar toate aceste subgrupe sunt infinite.

Să demonstrăm 3 . Subgrupuri ale grupului ciclic de ordin sunt în corespondență unu-la-unu cu divizori pozitivi numere .

Să, ca înainte,
– grup ciclic aditiv de ordin , adică

Dacă , și dacă elementul

Trebuie să dovedim asta
desparte .

Într-adevăr, să ne imaginăm

Apoi din faptul că

,

și minimalitatea
presupune
, prin urmare
.

Astfel, din faptul că
, rezultă că subgrupul
are ordine , adică

.

Când
trece prin toți divizorii pozitivi ai unui număr , face același lucru , și obținem exact un subgrup de ordine , împărțind .

Consecinţă. În grupul ciclic
comanda subgrup
comanda
se potrivește cu multe elemente
, astfel încât
.

Dovada. Elemente ale grupului ciclic
comanda arata ca

Dacă
, toi
.

Înapoi, lasă
Şi
.

Din condiție
rezultă că
, unde
Şi.

1. Divizori normali

Fie G un grup arbitrar și H un subgrup al lui G, atunci dacă obținem două clase din stânga
Şi
.

Vrem să aflăm condițiile în care produsul elementelor luate din clase
Şi
, nu depinde de alegerea reprezentanților clasei și aparține întotdeauna aceleiași clase de clase ca produsul elementelor
, și anume clasa
.

Element aparține clasei coset
, și elementul – clasa adiacenta
.

Elemente arbitrare aparținând, respectiv, claselor adiacente
Şi
poate fi reprezentat ca:

Apoi produsul lor

trebuie să aparțină unei clase

.

Aceasta înseamnă că în subgrupul H,

Înmulțirea egalității rezultate pe termenul din stânga cu termenul cu , avem:

(9)

Unde

Relația (9) ne permite să tragem următoarea concluzie.

Din moment ce elementele
sunt alese arbitrar, apoi pentru orice element
și orice element
există un element

,

relație satisfăcătoare (9).

În plus, elementul
și element
. Datorită acestui fapt, fiecare grupă din stânga a unui grup G în raport cu H este conținută într-un grup din dreapta al unui grup G în raport cu același subgrup H:

În mod similar, putem arăta includerea inversă

iar asta va însemna că

Definiția 1. Un subgrup H al unui grup G se numește divizor normal sau subgrup invariant, dacă pentru oricare două seturi g 1 H și g 2 H din subgrupul H, produsul
elemente arbitrare
dintre aceste clase aparține aceleiași clase de clase
(Fig. 2).

Orez. 2– Subgrupul H este un subgrup normal al grupului G.

Formal: subgrupa H – divizor normal grupuri , Dacă:

În grupurile comutative, fiecare subgrup este un divizor normal (datorită naturii comutative a operației de adunare).

Pentru utilizarea practică a conceptului de divizor normal, să luăm în considerare câteva definiții mai „constructive în manipulare”.

Definiția 2. Subgrupul H al lui G este divizor normal a unui grup G dacă și numai dacă fiecare cosetă stângă
coincide cu setul potrivit
grupele G cu H și invers.

Formal: subgrupa H – divizor normal grupa G, dacă:

Condiția (12) înseamnă în mod evident că:

Exemple.

1. În orice grup G grupul însuși
și subgrupul de unitate
sunt divizorii săi normali: clasele stânga și dreapta ale lui G după subgrup
este format dintr-o clasă alăturată
, iar seturile din stânga (dreapta) ale subgrupului de unități H constau din toate elementele grupului G.

2. În fiecare grup abelian G, fiecare dintre subgrupurile sale H este un subgrup normal.

3. Grup multiplicativ de numere reale pozitive
este un divizor normal al grupului multiplicativ al tuturor numerelor reale diferite de zero,

4. Grup multiplicativ de numere raționale nenule
este un divizor normal al grupului multiplicativ de numere reale diferite de zero

5. Într-un grup multiplicativ
matrici nesingulare
-subgrupul de ordinul al-lea cu coeficienți reali
matrici cu determinant egal cu unu:

este un divizor normal al acestui grup.

Într-adevăr, matricea de identitate
, Dacă

Şi

– respectiv, seturile stânga și dreapta ale grupului
-matrici nesingulare
-Ordinul cu coeficienți reali asupra subgrupului
- matrici cu determinant egal cu unu.

,

Aceste.
.

Pe de altă parte, dacă

,

deoarece
De aceea

În consecință, prin gruparea tuturor matricelor cu determinanți egali într-un singur grup (stânga sau dreapta) obținem descompunerea grupului
pe subgrup
. Acest exemplu arată că grupurile necomutative pot avea și subgrupuri - divizori normali, pentru care setul din stânga

coincide cu setul potrivit

Dacă H 1 și H 2 – submulțimi ale grupului G, apoi produsul H 3 subseturi H 1 și H 2 se numește H 3 = H 1× H 2º ( h 3 ½ h 3 = h 1× h 2 ; h 1 Î H 1 ; h 2 Î H 2 }.

Rețineți că dacă H 1 și H 2 – subgrupuri ale grupului G, Asta H 1× H 2, în general, nu este un subgrup.

◀ Într-adevăr, dacă , atunci

Dacă ar fi posibil, atunci... Dar legea comutativă, în general, nu este satisfăcută

Dacă H subgrup GŞi oÎ G, Asta AhŞi Ha, considerate produse ale setului Nși un set singleton ( o}, sunt numite clasele stânga și dreapta ale subgrupului N V G. Schimba O implică, în general, o schimbare a claselor.

§7. Proprietățile claselor (formulate pentru stânga,

dar valabil si pentru cei din dreapta)

1°. oÎ H Þ Ah º H. Demonstrează-l singur.

2°. o -1 bÎ H Þ Ah = bH. ◀ o - 1 bH º H(din 1°) și apoi bH= (aa - 1)bH= o(o - 1 bH) = Ah

3°. Două clase adiacente dintr-un subgrup H fie coincid sau nu au elemente comune.

◀ Să unŞi bH au un element comun, adică Pentru h 1 , h 2 Î H, Ah 1 = bh 2 Þ o -1 b = Î H etc. (din 2°)

4°. oÎ Ah. Demonstrează-l singur.

Lasă N un astfel de subgrup G pentru care toate clasele din stânga sunt, de asemenea, clasele din dreapta. În acest caz, un= Pe, "oÎ G. Subgrup N pentru care toate clasele din stânga sunt, de asemenea, clasele din dreapta numit divizor normal al unui grup G.

T° . Dacă H este un divizor normal al unui grup G, atunci produsul claselor este