Smo multicanal cu eșecuri. QS cu eșecuri și asistență reciprocă completă pentru fluxuri arbitrare

Informatică, cibernetică și programare

Un sistem de servicii cu n canale de servicii primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ. Intensitatea deservirii cererilor de către fiecare canal. După încheierea serviciului, toate canalele sunt eliberate. Comportamentul unui astfel de sistem de așteptare poate fi descris printr-un proces aleator Markov t, care reprezintă numărul de cereri din sistem.

2. QS cu refuzuri și asistență reciprocă deplină pentru fluxurile de masă. Grafic, sistem de ecuații, rapoarte de proiectare.

Enunțarea problemei.Un sistem de servicii cu n canale de servicii primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ. Intensitatea deservirii unei aplicații de către fiecare canal este µ. Aplicația este deservită de toate canalele simultan. După încheierea serviciului, toate canalele sunt eliberate. În cazul în care o cerere nou sosită primește cererea, aceasta este și ea acceptată pentru service. Unele canale continuă să servească prima solicitare, în timp ce restul continuă să servească pe cea nouă. Dacă sistemul deservește deja n aplicații, atunci o aplicație nou sosită este respinsă. Comportamentul unui astfel de sistem de așteptare poate fi descris de procesul aleator Markov ξ(t), care este numărul de cereri din sistem.

Stări posibile ale acestui proces E = (0, 1,..., n). Să găsim caracteristicile QS-ului considerat în mod staționar.

Graficul corespunzător procesului luat în considerare este prezentat în Figura 1.

Orez. 1. OCM cu refuzuri și asistență reciprocă deplină pt Poisson curge

Să creăm un sistem de ecuații algebrice:

Soluția acestui sistem are forma:

Aici χ =λ/nµ este numărul mediu de cereri care intră în sistem în timpul mediu de deservire a unei cereri de către toate canalele.

Caracteristicile unui sistem de așteptare multicanal cu defecțiuni și asistență reciprocă completă între canale.

1. Probabilitatea de refuzare a serviciului (probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate):

2. Probabilitatea de a deservi o cerere (capacitate relativă a sistemului):

Sistem de ecuații

QS cu defecțiuni pentru un număr aleatoriu de fluxuri de service pentru fluxuri Poisson; Grafic, sistem de ecuații.

Să reprezentăm QS ca un vector, unde k m– numărul de aplicații din sistem, fiecare dintre acestea fiind deservită m dispozitive; L= q max – q min +1 – numărul de fluxuri de intrare.

Dacă o cerere este acceptată pentru service și sistemul intră într-o stare cu intensitatea λ m.

Când deservirea uneia dintre solicitări este finalizată, sistemul se va muta într-o stare în care coordonatele corespunzătoare au o valoare cu o valoare mai mică decât în ​​starea , = , i.e. va avea loc tranziția inversă.

Un exemplu de model vectorial QS pentru n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P(m) = 1/3, λ Σ = λ, intensitatea întreținerii dispozitivului – μ.

Folosind graficul de stare cu intensitățile de tranziție reprezentate, este compilat un sistem de ecuații algebrice liniare. Din rezolvarea acestor ecuații se găsesc probabilitățile R(), prin care se determină caracteristicile QS.

Un QS cu o coadă infinită pentru fluxurile Poisson. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.

Graficul sistemului

Unde n- numărul de canale de servicii, l– numărul de canale de asistență reciprocă

Un QS cu o coadă infinită și asistență reciprocă parțială pentru fluxuri arbitrare. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.

Graficul sistemului

Sistem de ecuații

–λ R 0 + nμ R 1 =0,

.………………

–(λ + nμ) P k+ λ P k –1 + nμ P k +1 =0 (k = 1,2, ... , n–1),

……………....

-(λ+ nμ) Pn+ λ P n –1 + nμ Р n+1=0,

……………….

-(λ+ nμ) Pn+j+ λ Р n+j –1 + nμ Р n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

QS cu o coadă infinită și asistență reciprocă completă pentru fire arbitrare. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.

Graficul sistemului

Sistem de ecuații

Un QS cu o coadă finită pentru fluxurile Poisson. Grafic, sistem de ecuații, relații calculate.

Graficul sistemului

Sistem de ecuații

Rate de calcul:

,

Să luăm în considerare sistem multicanal coada (total canale n), care primește cereri cu intensitatea λ și este deservită cu intensitatea μ. O solicitare care ajunge în sistem este deservită dacă cel puțin un canal este liber. Dacă toate canalele sunt ocupate, atunci următoarea solicitare primită în sistem este respinsă și părăsește QS. Să numerotăm stările sistemului după numărul de canale ocupate:

• S 0 – toate canalele sunt gratuite;
• S 1 – un canal este ocupat;
• S 2 – două canale sunt ocupate;
• Sk– ocupat k canale;
• Sn– toate canalele sunt ocupate.

Orez. 7.24
Figura 6.24 prezintă un grafic de stare în care Si– numărul canalului; λ – intensitatea cererilor primite; μ – în consecință, intensitatea solicitărilor de service. Solicitările intră în sistemul de așteptare cu intensitate constantă și ocupă treptat canale unul după altul; când toate canalele sunt ocupate, următoarea cerere care ajunge la QS va fi respinsă și va părăsi sistemul.
Să determinăm intensitățile fluxurilor de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta atunci când se deplasează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga de-a lungul graficului stării.
De exemplu, lăsați sistemul să fie în stare S 1, adică un canal este ocupat, deoarece există o solicitare la intrarea sa. De îndată ce soluționarea cererii este finalizată, sistemul va intra în stare S 0 .
De exemplu, dacă două canale sunt ocupate, atunci fluxul de servicii care transferă sistemul din stat S 2 în stare S 1 va fi de două ori mai intens: 2-μ; în consecință, dacă este ocupat k canale, intensitatea este k-μ.

Procesul de întreținere este un proces de moarte și reproducere. Ecuațiile Kolmogorov pentru acest caz particular vor avea următoarea formă:

(7.25)
Se numesc ecuațiile (7.25). Ecuații Erlang .
Pentru a găsi valorile probabilității stărilor R 0 , R 1 , …, Rn, este necesar să se determine condițiile inițiale:
– R 0 (0) = 1, adică există o solicitare la intrarea sistemului;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = Rn(0) = 0, adică în momentul inițial de timp sistemul este liber.
După ce am integrat sistemul de ecuații diferențiale (7.25), obținem valorile probabilităților de stare R 0 (t), R 1 (t), … Rn(t).
Dar ne interesează mult mai mult probabilitățile limită ale stărilor. Ca t → ∞ și folosind formula obținută când se consideră procesul de moarte și reproducere, obținem o soluție a sistemului de ecuații (7.25):

(7.26)
În aceste formule, raportul de intensitate λ / μ la fluxul de aplicaţii este convenabil să se desemneze ρ .Această cantitate se numește dată fiind intensitatea fluxului de aplicații, adică numărul mediu de aplicații care ajung la QS în timpul mediu de service pentru o aplicație.

Ținând cont de notația făcută, sistemul de ecuații (7.26) va lua următoarea formă:

(7.27)
Aceste formule pentru calcularea probabilităților marginale se numesc formule Erlang .
Cunoscând toate probabilitățile stărilor QS, vom găsi caracteristicile eficienței QS, adică debitul absolut O, debit relativ Qși probabilitatea de eșec R deschide
O aplicație primită de sistem va fi respinsă dacă găsește că toate canalele sunt ocupate:

.
Probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru serviciu:

Q = 1 – R deschide,
Unde Q– ponderea medie a aplicațiilor primite deservite de sistem sau numărul mediu de aplicații deservite de QS pe unitatea de timp, raportat la numărul mediu de cereri primite în acest timp:

A=λ·Q=λ·(1-P deschis)
În plus, unul dintre cele mai importante caracteristici QS cu eșecuri este numărul mediu de canale ocupate. ÎN n-canal QS cu defecțiuni, acest număr coincide cu numărul mediu de aplicații din QS.
Numărul mediu de cereri k poate fi calculat direct prin probabilitățile stărilor P 0, P 1, ..., P n:

,
adică găsim așteptări matematice variabilă aleatoare discretă care ia o valoare de la 0 la n cu probabilităţi R 0 , R 1 , …, Rn.
Este și mai ușor să exprimați valoarea lui k prin capacitatea absolută a QS, adică. A. Valoarea A este numărul mediu de aplicații care sunt deservite de sistem pe unitatea de timp. Un canal ocupat servește μ cereri pe unitatea de timp, apoi numărul mediu de canale ocupate

Dacă întreținerea se efectuează pas cu pas printr-o anumită secvență de canale, atunci se apelează un astfel de QS multifazic.

ÎN OCM cu „ajutor reciproc”între canale, aceeași cerere poate fi deservită simultan de două sau mai multe canale. De exemplu, aceeași mașină spartă poate fi întreținută de doi muncitori simultan. O astfel de „asistență reciprocă” între canale poate avea loc atât în ​​QS-uri deschise, cât și închise.

ÎN QS cu erori o aplicație acceptată pentru service în sistem nu este deservită cu probabilitate totală, ci cu o anumită probabilitate; cu alte cuvinte, pot apărea erori în serviciu, rezultatul cărora este că unele solicitări trimise de QS și presupus „deservite” rămân de fapt neservite din cauza unui „defect” în activitatea QS.

Exemple de astfel de sisteme includ: birourile de informare, care uneori eliberează certificate și instrucțiuni incorecte; un corector care poate să rateze o eroare sau să o corecteze incorect; o centrală telefonică care conectează uneori un abonat la un număr greșit; societăți comerciale și intermediare care nu întotdeauna își îndeplinesc obligațiile în mod eficient și la timp etc.

Pentru a analiza procesul care are loc în QS, este esențial să știți principalii parametri ai sistemului: numărul de canale, intensitatea fluxului de aplicații, productivitatea fiecărui canal (numărul mediu de aplicații deservite pe unitatea de timp de către canal), condițiile de formare a cozii, intensitatea aplicațiilor care părăsesc coada sau sistem.

Atitudinea se numește factor de încărcare a sistemului. Adesea numai sisteme în care .

Timpul de serviciu într-un QS poate fi o variabilă aleatoare sau nealeatorie. În practică, acest timp este cel mai adesea presupus a fi distribuit conform legii exponențiale.

Principalele caracteristici ale QS depind relativ puțin de tipul de lege de distribuție a timpului de serviciu, dar depind în principal de valoarea medie. Prin urmare, se utilizează adesea ipoteza că timpul de serviciu este distribuit conform unei legi exponențiale.

Ipotezele despre natura Poisson a fluxului de cereri și distribuția exponențială a timpului de serviciu (pe care o vom presupune de acum înainte) sunt valoroase prin faptul că ne permit să aplicăm aparatul așa-numitelor procese aleatoare Markov în teoria cozilor de așteptare.

Eficacitatea sistemelor de servicii, în funcție de condițiile sarcinilor și obiectivelor studiului, poate fi caracterizată printr-un număr mare de indicatori cantitativi diferiți.

Cele mai frecvent utilizate sunt următoarele indicatori:

1. Probabilitatea ca canalele să fie ocupate cu service este .

Un caz special este probabilitatea ca toate canalele să fie libere.

2. Probabilitatea refuzului cererii de serviciu.

3. Numărul mediu de canale ocupate caracterizează gradul de încărcare a sistemului.

4. Numărul mediu de canale fără serviciu:

5. Coeficientul (probabilitatea) de oprire a canalului.

6. Factorul de încărcare a echipamentului (probabilitatea de ocupare a canalului)

7. Debit relativ – ponderea medie a cererilor primite deservite de sistem, i.e. raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de sistem pe unitatea de timp și numărul mediu de cereri primite în acest timp.

8. Debit absolut, de ex. numărul de aplicații (cerințe) pe care sistemul le poate deservi pe unitatea de timp:

9. Timp mediu de nefuncționare a canalului

Pentru sisteme cu anticipare sunt utilizate caracteristici suplimentare:

10. Timp mediu de așteptare pentru cererile în coadă.

11. Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în CMO.

12. Lungimea medie a cozii.

13. Numărul mediu de cereri în sectorul serviciilor (în SMO)

14. Probabilitatea ca timpul în care o aplicație rămâne în coadă să nu dureze mai mult de un anumit timp.

15. Probabilitatea ca numărul de cereri din coada de așteptare a serviciului să fie mai mare decât un anumit număr.

Pe lângă criteriile enumerate, atunci când se evaluează eficacitatea sistemelor, indicatori de cost:

– costul deservirii fiecărei cerințe din sistem;

– costul pierderilor asociate cu așteptarea pe unitatea de timp;

– costul pierderilor asociate cu plecarea daunelor din sistem;

– costul operarii unui canal de sistem pe unitatea de timp;

– costul pe unitatea de timp de oprire a canalului.

Atunci când alegeți parametrii optimi ai sistemului pe baza indicatorilor economici, puteți utiliza următoarele funcția de cost de pierdere:

a) pentru sistemele cu așteptare nelimitată

Unde este intervalul de timp;

b) pentru sistemele cu defecțiuni;

c) pentru sisteme mixte.

Opțiunile care implică construirea (introducerea) de noi elemente de sistem (de exemplu, canalele de servicii) sunt de obicei comparate pe baza costurilor reduse.

Costurile date pentru fiecare opțiune sunt suma costurilor (costului) curente și investitii de capital, redus la aceeași dimensiune în conformitate cu standardul de eficiență, de exemplu:

(costuri ajustate pe an);

(costuri ajustate pentru perioada de rambursare),

unde – costurile curente (costul) pentru fiecare opțiune, rub.;

– coeficientul standard al industriei eficienta economica investiții de capital (de obicei = 0,15 - 0,25);

– investiții de capital pentru fiecare opțiune, rub.;

– perioada standard de rambursare pentru investițiile de capital, ani.

Expresia este suma costurilor curente și de capital pentru o anumită perioadă. Sunt numiti dat, deoarece se referă la o perioadă fixă ​​de timp (în acest caz, perioada standard de rambursare).

Indicatori și pot fi utilizați atât sub forma sumei investițiilor de capital, cât și sub formă de cost produse finite, și în formă investiții de capital specifice pe unitate de producție și cost unitar de producție.

Pentru descriere proces aleatoriu, care apar într-un sistem cu stări discrete, folosesc adesea probabilitățile stărilor, unde este probabilitatea ca în acest moment sistemul să fie în stare.

Este evident că.

Dacă un proces care are loc într-un sistem cu stări discrete și timp continuu este Markovian, atunci pentru probabilitățile stărilor este posibil să se construiască un sistem de ecuații diferențiale liniare Kolmogorov.

Dacă există un grafic de stare marcat (Fig. 4.3) (aici, deasupra fiecărei săgeți care duce de la o stare la alta, este indicată intensitatea fluxului de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta de-a lungul acestei săgeți), atunci un sistem de ecuațiile diferențiale pentru probabilități pot fi scrise imediat folosind următorul simplu regulă.

Pe partea stângă a fiecărei ecuații există o derivată, iar în partea dreaptă sunt atât de mulți termeni câte săgeți sunt asociate direct cu o stare dată; dacă săgeata indică V

Dacă toate fluxurile de evenimente care transferă sistemul de la o stare la alta sunt staționare, numărul total de stări este finit și nu există stări fără ieșire, atunci regimul limitativ există și se caracterizează prin probabilități marginale .