Un grup G acționează (din stânga) asupra unei mulțimi X dacă pentru orice elemente g și x X este definit un element gx X și g2(g1x) = (g2 g1)x și ex = x pentru toate x X, g1, g2 G. Setul

Gx = (gx | g G)

se numește orbita elementului x. Orbitele oricăror două elemente din X fie coincid, fie nu se intersectează, astfel încât mulțimea X este împărțită în orbite disjunse. Dacă există o orbită - întreaga mulțime X, atunci se spune că C acționează tranzitiv pe X. Cu alte cuvinte, un grup G acționează tranzitiv pe o mulțime X dacă pentru oricare două elemente x, x" din X există un element g din G astfel încât gx = x".

Stabilizatorul unui element x al lui X este un subgrup

StG(x)= (g G | gх = x).

Mulțimea punctelor fixe ale unui element g din G este mulțimea

Fiх(g) = (x X | gх = x).

Puterea orbitală este egală cu indicele stabilizatorului din grupa G.

Fie K un cub fix în spațiul euclidian tridimensional, G grupul tuturor mișcărilor acestui spațiu care păstrează orientarea și transformă K în K. În grupul G există o mișcare identică, rotații de 120° și 240° în jurul a patru axele care trec prin cubul vârfuri opuse, rotație cu 180° în jurul axelor care trec prin punctele medii ale muchiilor opuse și rotație cu 90°, 180° și 270° în jurul axelor care trec prin centrele fețelor opuse. Deci, am găsit 24 de elemente în grupul G. Să arătăm că nu există alte elemente în G. Grupul G acționează tranzitiv asupra mulțimii K0 de vârfuri ale cubului K, deoarece oricare două vârfuri din K pot fi „legate printr-un lanț de cele învecinate”, iar cele învecinate pot fi transformate unul în celălalt printr-o rotație adecvată. Stabilizatorul de vârf x trebuie să lase, de asemenea, vârful x cel mai îndepărtat de acesta. Prin urmare, constă în mișcare și rotații identice în jurul axei xx cu 120° și 240°. Prin urmare |G| = |K°| * || = 8 * 3 = 24 și, prin urmare, toate rotațiile de mai sus formează un grup G.

Grupul G se numește grupul de rotație al cubului. Să demonstrăm că Rotațiile din G rearanjează cele mai lungi patru diagonale ale cubului. Apare un homomorfism: q: G > . Miezul acestui homomorfism este egal cu (e), deoarece numai mișcarea identică lasă fiecare diagonală a cubului pe loc. Prin urmare, G este izomorf la un subgrup al grupului. Comparând ordinele acestor grupuri, aflăm că G .

Grupuri de simetrie

Unul dintre cele mai frecvent utilizate exemple de grupuri și, în special, grupuri de permutare sunt grupurile care „măsoară” simetria figurilor geometrice, atât plate, cât și spațiale.

Grupul de simetrii ale tetraedrului.

Tetraedrul (Fig. 1) are 4 axe de simetrie l1, l2, l3, l4 de ordinul 3, trecând prin vârfurile sale 1, 2, 3, 4 și prin centrele fețelor opuse. În jurul fiecărei axe, pe lângă cea identică, sunt posibile încă două rotații. Ele corespund următoarelor permutări:

în jurul axei l1

în jurul axei l2

în jurul axei l3

în jurul axei l4

În plus, există 3 axe de simetrie de ordinul 2, care trec prin punctele medii A, B, C, D, E, F ale muchiilor de încrucișare. Prin urmare, există încă 3 transformări neidentice (în funcție de numărul de perechi de muchii de încrucișare) care corespund permutărilor:

în jurul axei AB,

în jurul axei CD,

în jurul axei EF.

Deci, împreună cu transformarea identității obținem 12 permutări. Sub aceste transformări, tetraedrul se auto-aliniază, rotindu-se în spațiu; punctele sale nu își schimbă poziția unul față de celălalt. Setul de 12 permutări scrise este închis la înmulțire, deoarece rotațiile secvențiale ale tetraedrului vor fi din nou o rotație. Astfel, obținem un grup numit grup de rotație a tetraedrului.

În timpul altor transformări spațiale, care sunt auto-alinieri ale tetraedrului, punctele interne ale tetraedrului se mișcă unul față de celălalt. Și anume: tetraedrul are 6 planuri de simetrie, fiecare trecând prin una dintre marginile sale și mijlocul muchiei opuse. Următoarele transpoziții pe mulțimea de vârfuri ale tetraedrului corespund simetriilor despre aceste plane:

Deja pe baza acestor date, se poate argumenta că grupul tuturor simetriilor posibile ale tetraedrului este format din 24 de transformări. De fapt, fiecare simetrie, auto-aliniind tetraedrul ca întreg, trebuie să-și rearanjeze cumva vârfurile, muchiile și fețele. În special, în acest caz, simetriile pot fi caracterizate prin permutări ale vârfurilor tetraedrului. Deoarece un tetraedru are 4 vârfuri, grupul său de simetrie nu poate consta din mai mult de 24 de transformări. Cu alte cuvinte, fie coincide cu grupul simetric S4, fie este subgrupul său. Simetriile tetraedrului în raport cu planurile scrise mai sus determină toate transpozițiile posibile pe mulțimea vârfurilor sale. Deoarece aceste transpoziții generează grupul simetric S4, obținem ceea ce este necesar. Astfel, orice permutare a vârfurilor unui tetraedru este determinată de o parte din simetria acestuia. Cu toate acestea, acest lucru nu se poate spune despre o permutare arbitrară a marginilor tetraedrului. Dacă suntem de acord să notăm fiecare margine a unui tetraedru cu aceeași literă cu mijlocul său, atunci, să zicem, permutări pe setul de muchii

corespund, respectiv, două rotații în jurul axei l1 și unei rotații în jurul axei AB. După ce am scris permutările pe mulțime (A, B. C, D, E, F) pentru toate transformările de simetrie, obținem un anumit subgrup al grupului simetric S6, format din 24 de permutări. Grupul de permutări ale vârfurilor unui tetraedru și grupul de permutări ale muchiilor acestuia -- grupuri diferite permutări, deoarece acţionează asupra unor seturi diferite. Dar în spatele lor este „vizibil” unul și același grup - un grup de transformări spațiale care lasă tetraedrul pe loc.

Grupul de simetrii ale cubului. Simetriile cubului, ca și simetriile tetraedrului, sunt împărțite în două tipuri - auto-aliniere, în care punctele cubului nu își schimbă poziția unul față de celălalt și transformări, care părăsesc cubul ca un întreg. pe loc, dar își mută punctele unul față de celălalt. Transformările de primul tip vor fi numite rotații. Toate rotațiile formează un grup numit grup de rotație cub.

Există exact 24 de rotații ale cubului în jurul diferitelor axe de simetrie.

De fapt, atunci când cubul este rotit, locul feței de jos poate fi luat de oricare dintre cele 6 fețe ale cubului (Fig. 2). Pentru fiecare dintre cele 6 posibilități - când este indicată ce față se află în partea de jos - există 4 aranjamente diferite ale cubului, corespunzătoare rotațiilor acestuia în jurul unei axe care trece prin centrele fețelor superioare și inferioare, la unghiurile 0, p/2, p, 3p/2. Astfel, obținem 6×4 = 24 de rotații ale cubului. Să le indicăm în mod explicit.

Cubul are un centru de simetrie (punctul de intersecție al diagonalelor sale), 3 axe de simetrie de ordinul al patrulea, 4 axe de simetrie de ordinul trei și 6 axe de simetrie de ordinul doi. Este suficient să luăm în considerare rotațiile în jurul axelor de simetrie.

a) Axele de simetrie de ordinul al patrulea sunt axe care trec prin centrele fețelor opuse. În jurul fiecăreia dintre aceste axe există trei rotații neidentice și anume rotații prin unghiuri p/2, p, 3p/2. Aceste rotații corespund la 9 permutări ale vârfurilor cubului, în care vârfurile fețelor opuse sunt rearanjate ciclic și în mod consecvent. De exemplu, permutările

răspunde la rotațiile în jurul unei axe

b) Axele de simetrie de ordinul trei sunt diagonalele cubului. În jurul fiecăreia dintre cele patru diagonale , , , există două rotații neidentice la unghiuri 2р/3, 4р/3. De exemplu, rotațiile în jurul diagonalei determină următoarele permutări ale vârfurilor cubului:

În total obținem 8 astfel de rotiri.

c) Axele de simetrie de ordinul doi vor fi drepte care leagă punctele medii ale muchiilor opuse ale cubului. Există șase perechi de muchii opuse (de exemplu, , ), fiecare pereche definește o axă de simetrie, adică obținem 6 axe de simetrie de ordinul doi. Există o rotație neidentică în jurul fiecăreia dintre aceste axe. Doar 6 rotiri. Împreună cu transformarea identică obținem 9+8+6+1=24 de rotații diferite. Sunt indicate toate rotațiile cubului. Rotațiile unui cub determină permutări pe mulțimile vârfurilor, muchiilor, fețelor și diagonalelor sale. Să luăm în considerare modul în care grupul de rotații al unui cub acționează asupra mulțimii diagonalelor sale. Rotații diferite ale cubului rearanjează diagonalele cubului în moduri diferite, adică corespund unor permutări diferite pe setul de diagonale. Prin urmare, grupul de rotații al cubului definește un grup de permutări pe setul de diagonale, format din 24 de permutări. Deoarece cubul are doar 4 diagonale, grupul tuturor acestor permutări coincide cu grupul simetric de pe setul de diagonale. Deci, orice permutare a diagonalelor cubului corespunde unei anumite rotații a acestuia, iar diferite permutări corespund unor rotații diferite.

Să descriem acum întregul grup de simetrii ale cubului. Cubul are trei planuri de simetrie care trec prin centru. Simetriile despre aceste planuri, combinate cu toate rotațiile cubului, ne oferă încă 24 de transformări, care sunt auto-alinieri ale cubului. Prin urmare, grupul complet de simetrii al cubului este format din 48 de transformări.

Grupa de simetrie octaedrică. Un octaedru format din cinci poliedre regulate. Se poate obține prin conectarea centrelor fețelor cubului și luând în considerare un corp delimitat de plane care sunt definite prin conectarea liniilor drepte pentru fețele adiacente (Fig. 3). Prin urmare, orice simetrie a unui cub este simultan simetria unui octaedru și invers. Astfel, grupul de simetrie al octaedrului este același cu grupul de simetrie al cubului și constă din 48 de transformări.

Grupul de simetrie al unui poliedru regulat este format din 2l transformări, unde l este numărul unghiurilor sale plane. Această afirmație este valabilă pentru toate poliedrele obișnuite și poate fi dovedită în vedere generală, fără a găsi toate simetriile poliedrelor.

Fie G un grup, X o mulțime și f: G × X → X

– afișaj. Să notăm f(g, x) cu gx. Vom spune că o acțiune a lui G asupra X este dată (sau G acționează asupra lui X) dacă (gh)x = g(hx) și ex = x pentru toate g, h G, x X. În acest caz, mulțimea X se numește G-set.

Comentariu. Mai exact, o anumită acțiune se numește stânga. Pentru acțiunea corectă se consideră maparea f: X × G → X, se introduce notația f(x, g) = xg și sunt necesare următoarele condiții: x(gh) = (xg)h și xe = x . Este clar că tot ce se spune mai jos despre acțiunea din stânga este adevărat (cu modificările corespunzătoare) și pentru cea din dreapta. Mai mult, rețineți că formula xg = g−1 x stabilește o corespondență unu-la-unu între acțiunile din stânga și dreapta ale lui G pe X (adică, aproximativ vorbind, acțiunile din stânga și din dreapta ale grupurilor sunt „același lucru”). Acțiunea corectă va apărea în mod natural în capitolul 10.

O submulțime Y X este numită submulțime G dacă GY Y (adică gy Y pentru toate g G, y Y).

O submulțime a unei G-mulți X de forma O(x) = (gx | g G) se numește orbită a unui element x din X. Orbitele coincid cu G-submulțimi minime din X. Relația „a se afla în aceeași orbită” este o relație de echivalență pe X, deci orbitele formează un set de partiții X.

Pentru un x X fix, elementele g G astfel încât gx = x formează un subgrup în G, care se numește stabil

lyzer (sau subgrup staționar ) a elementului x și se notează cu St(x).

Orbitele și stabilizatorii sunt legate după cum urmează:

Propozitia 7.1 |O(x)| = pentru orice x X.

Exemplu. Fie X = G și G acționează asupra lui X prin conjugare, adică (g, x) 7→gxg−1. Se numește orbita sub această acțiune

clasa de elemente conjugate , și stabilizatorul St(x) – centralizator elementul x (denumirea – C G(x)). Evident, C G (x) = (a G | ax = xa). Mai mult, dacă grupul G este finit, atunci

unde la însumarea x trece prin mulțimea reprezentanților claselor de elemente conjugate (adică se ia câte un element din fiecare clasă).

Folosind această acțiune se poate dovedi

Teorema 7.2 (Teorema lui Cauchy) Dacă ordinul unui grup G este divizibil cu un prim p, atunci există un element de ordin p în G.

7.1. Stabiliți echivalența următoarelor două definiții ale acțiunii unui grup G asupra unei mulțimi X:

1) Acțiunea lui G asupra X este o mapare G×X → X, (g, x) 7→gx astfel încât (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) și ex = x pentru toate g1 , g2 G, x X.

2) Acțiunea lui G asupra X este un homomorfism G → S(X) (unde S(X)

– grupul tuturor bijecțiilor lui X asupra lui însuși).

7.2. Demonstrați că dacă O(x) = O(y), atunci St(x) este conjugat cu St(y). Este adevărat opusul?

7.3. Descrieți orbitele și stabilizatorii următoarelor:

1) Acțiunea lui G asupra lui însuși prin deplasări la stânga (adică (g, x) 7→gx);

2) Acțiunea lui G asupra lui însuși prin deplasări la dreapta (adică (g, x) 7→xg−1 );

3) Acțiunea lui H pe G prin deplasări la stânga (respectiv la dreapta), unde H< G;

x X St(x).

4) Acțiunea lui G prin conjugări asupra mulțimii subgrupurilor sale (adică (g, H) 7→gHg−1 );

5) Acțiunea lui G asupra mulțimii claselor drepte G/H, unde H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Acțiunea naturală a grupului G = GL(V) de operatori liniari nedegenerați într-un spațiu liniar V asupra: a) V, b) V × V, c) mulțimea tuturor subspațiilor liniare din V;

7) Acțiunea naturală a grupului G = O(V) de operatori liniari ortogonali în spațiul euclidian V asupra: a) V, b)

8) G = hσi – subgrup ciclic în S n, X = (1, 2,..., n).

7.4.* Un izomorfism al acțiunilor unui grup G asupra mulțimilor X și Y este o bijecție f: X → Y astfel încât f(gx) = gf(x) pentru toate g G, x X. O acțiune a lui G asupra X este numit tranzitiv dacă pentru tot x, y X există un g G astfel încât y = gx (adică X

este singura orbită a acestei acțiuni). Demonstrați că fiecare acțiune tranzitivă a lui G asupra X este izomorfă față de o acțiune asupra G/H pentru un subgrup adecvat H. Când sunt acțiunile lui G asupra G/H1 și G/H2 izomorfe?

7.5. Aflați grupul de automorfisme ale acțiunii naturale a grupului G asupra mulțimii G/H.

7.6. Demonstrați că ordinele claselor de elemente conjugate ale unui grup finit împart ordinea acestuia.

7 .7 .* Demonstrați că centrul unui p-grup finit este netrivial.

7 .8 .* Demonstraţi că dacă |G| = p2, atunci G este abelian (adică G este izomorf cu Z(p2) sau Z(p) × Z(p)).

7 .9 .* Demonstrați că dacă G este non-abelian și |G| = p3, atunci |C(G)| = p.

7.10. Miezul unei acțiuni a lui G asupra X este nucleul homomorfismului corespunzător G → S(X).

a) Verificați dacă nucleul acțiunii lui G asupra X este egal cu b) Aflați nucleul acțiunii lui G asupra G/H, unde H< G.

7.11.* Fie H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует divizor normal N din indicele final conținut în H și împarte m! și este divizibil cu m.

Grupuri de simetrie de poliedre regulate

Să stabilim O(3) := (A GL(3, R) | La A = E), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Fie M R3. Grupul de rotație M este

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

grupul de simetrie M este

Gsym (M) = (g O(3) | gM = M)

(adică Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO(3)).

7.12. Demonstrați că O(3) SO(3) × Z(2).

7 .13 .* Găsiți |Grot (M)| și |Gsym (M)| pentru fiecare dintre poliedrele regulate (tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru). Aici și mai jos se presupune că M este încorporat în R3, astfel încât centrul său să coincidă cu originea.

7 .16 .* Fie M un cub sau octaedru. Demonstrați că Grot (M) S4 .

7 .17 .* Fie M un icosaedru sau dodecaedru. Demonstrează asta

Grot (M) A5.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, teste, referate, teze, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Dezvoltarea unui concept abstract modern de grupuri. Cele mai simple proprietăți ale grupurilor nilpotente finite. Subgrupul Frattini al unui grup finit este nilpotent. Găsirea produsului direct al grupărilor nilpotente. Operație algebrică binară pe o mulțime.

lucrare curs, adaugat 21.09.2013


Aplicarea lemei lui Burnside la rezolvarea problemelor combinatorii. Orbitele grupului de permutare. Lungimea orbitei grupului de permutare. Lema lui Burnside. Probleme combinatorii. „Metoda de cernere”. Formula de includere și excludere.

teză, adăugată 14.06.2007


Solvabilitatea unui grup factorizabil cu factori descompunebili. Proprietăți ale grupurilor finite care sunt produsul a două grupuri, dintre care unul este un grup Schmidt, al doilea este 2-descomposabil. Produsul grupelor biprimare și 2-descompuse. Demonstrarea teoremelor și lemelor.

lucrare de curs, adăugată 22.09.2009


Esența teoriei grupurilor. Rolul acestui concept în matematică. Forma multiplicativă a operațiunilor de înregistrare, exemple de grupuri. Formularea esenței subgrupului. Omomorfisme ale grupurilor. Grupuri de matrice liniare complete și speciale. Grupuri clasice de dimensiuni mici.

lucrare curs, adăugată 03.06.2014


Ridicarea unui număr complex la o putere. Operație algebrică binară. Interpretare geometrică numere complexe. Baza, rangul și combinațiile liniare pentru un sistem de vectori. Rădăcini multiple ale unui polinom. Descompunerea unui polinom în fracții elementare.

test, adaugat 25.03.2014


Primele mențiuni despre poliedre regulate. Clasificarea poliedrelor, tipurile lor, proprietăți, teoreme privind evoluția poliedrelor convexe (Cauchy și Aleksandrov). Crearea de modele de poliedre obișnuite folosind dezvoltări și metode origami.

lucrare de curs, adăugată 18.01.2011


Conceptul de simetrii axiale reflectorizante și rotaționale în geometria euclidiană și în științele naturii. Exemple de simetrie axială sunt un fluture, un fulg de zăpadă, Turnul Eiffel, palate și o frunză de urzică. Reflexia oglinzii, simetrii radiale, axiale si radiale.

prezentare, adaugat 17.12.2013