Група G действа (отляво) върху множество X, ако за произволни елементи g и x X е дефиниран елемент gx X и g2(g1x) = (g2 g1)x и ex = x за всички x X, g1, g2 G. Комплектът

Gx = (gx | g G)

се нарича орбита на елемент x. Орбитите на всеки два елемента от X или съвпадат, или не се пресичат, така че множеството X е разделено на несвързани орбити. Ако има една орбита - цялото множество X, тогава се казва, че C действа транзитивно върху X. С други думи, група G действа транзитивно върху множество X, ако за всеки два елемента x, x" от X има елемент g от G, така че gx = x".

Стабилизаторът на елемент x от X е подгрупата

StG(x)= (g G | gх = x).

Множеството от неподвижни точки на елемент g в G е множеството

Fiх(g) = (x X | gх = x).

Орбиталната мощност е равна на индекса на стабилизатора в група G.

Нека K е фиксиран куб в триизмерно евклидово пространство, G групата от всички движения на това пространство, които запазват ориентацията и трансформират K в K. В групата G има идентично движение, завъртания на 120° и 240° около четири оси, минаващи през противоположни върхове на куб, завъртане на 180° около оси, минаващи през средните точки на противоположни ръбове, и завъртане на 90°, 180° и 270° около оси, минаващи през центровете на противоположни страни. И така, намерихме 24 елемента в групата G. Нека покажем, че няма други елементи в G. Групата G действа транзитивно върху множеството K0 от върхове на куба K, тъй като всеки два върха от K могат да бъдат „свързани с верига от съседни“, а съседните могат да се трансформират един в друг чрез подходящо завъртане. Стабилизаторът на x-връх също трябва да остави най-отдалечения от него връх x на място, следователно се състои от идентично движение и завъртания около оста xx на 120° и 240°. Следователно |G| = |K°| * || = 8 * 3 = 24 и следователно всички горни завъртания образуват група G.

Групата G се нарича ротационна група на куба. Нека докажем, че ротациите от G пренареждат четирите най-дълги диагонала на куба. Възниква хомоморфизъм: c: G > . Ядрото на този хомоморфизъм е равно на (e), тъй като само идентичното движение оставя всеки диагонал на куба на място. Следователно G е изоморфна на подгрупа от групата. Сравнявайки редовете на тези групи, откриваме, че G .

Групи на симетрия

Един от най-често използваните примери за групи и по-специално групи за пермутация са групите, които „измерват“ симетрията на геометрични фигури, както плоски, така и пространствени.

Група симетрии на тетраедъра.

Тетраедърът (фиг. 1) има 4 оси на симетрия l1, l2, l3, l4 от 3-ти ред, минаващи през неговите върхове 1, 2, 3, 4 и центровете на противоположни лица. Около всяка ос, освен идентичната, са възможни още две завъртания. Те съответстват на следните пермутации:

около оста l1

около оста l2

около оста l3

около оста l4

Освен това има 3 оси на симетрия от 2-ри ред, минаващи през средните точки A, B, C, D, E, F на пресичащите се ръбове. Следователно има още 3 (според броя на двойките пресичащи се ръбове) неидентични трансформации, които съответстват на пермутации:

около оста AB,

около оста CD,

около оста EF.

И така, заедно с трансформацията на идентичността получаваме 12 пермутации. При тези трансформации тетраедърът се самоподравнява, въртяйки се в пространството; неговите точки не променят позицията си една спрямо друга. Наборът от 12 изписани пермутации е затворен при умножение, тъй като последователните завъртания на тетраедъра отново ще бъдат завъртане. Така получаваме група, наречена ротационна група на тетраедъра.

По време на други пространствени трансформации, които са самоподравняване на тетраедъра, вътрешните точки на тетраедъра се преместват една спрямо друга. А именно: тетраедърът има 6 равнини на симетрия, всяка от които минава през един от неговите ръбове и средата на противоположния ръб. Следните транспозиции върху множеството от върхове на тетраедъра съответстват на симетрии относно тези равнини:

Вече въз основа на тези данни може да се твърди, че групата от всички възможни симетрии на тетраедъра се състои от 24 трансформации. Всъщност всяка симетрия, самоподравнявайки тетраедъра като цяло, трябва по някакъв начин да пренареди своите върхове, ръбове и лица. По-специално, в този случай симетриите могат да се характеризират с пермутации на върховете на тетраедъра. Тъй като тетраедърът има 4 върха, неговата група на симетрия не може да се състои от повече от 24 трансформации. С други думи, тя или съвпада със симетричната група S4, или е нейна подгрупа. Симетриите на тетраедъра по отношение на изписаните по-горе равнини определят всички възможни транспозиции върху множеството от неговите върхове. Тъй като тези транспозиции генерират симетричната група S4, получаваме това, което се изисква. По този начин всяка пермутация на върховете на тетраедър се определя от част от неговата симетрия. Това обаче не може да се каже за произволна пермутация на ръбовете на тетраедъра. Ако се съгласим да обозначим всеки ръб на тетраедър със същата буква като средата му, тогава, да речем, пермутациите на множеството от ръбове

съответстват съответно на две завъртания около оста l1 и едно завъртане около оста AB. След като изписахме пермутациите в множеството (A, B. C, D, E, F) за всички трансформации на симетрия, получаваме определена подгрупа на симетричната група S6, състояща се от 24 пермутации. Групата от пермутации на върховете на тетраедър и групата от пермутации на неговите ръбове -- различни групипермутации, тъй като те действат на различни множества. Но зад тях е „видима“ една и съща група - група от пространствени трансформации, които оставят тетраедъра на място.

Група симетрии на куба. Симетриите на куба, подобно на симетриите на тетраедъра, се разделят на два вида - самоподравняване, при което точките на куба не променят позицията си една спрямо друга, и трансформации, които оставят куба като цяло на място, но преместете точките му една спрямо друга. Трансформациите от първия тип ще се наричат ​​ротации. Всички ротации образуват група, наречена група за ротация на куб.

Има точно 24 завъртания на куба около различни оси на симетрия.

Всъщност, когато кубът се завърти, мястото на долната страна може да бъде заето от всяка от 6-те страни на куба (фиг. 2). За всяка от 6-те възможности - когато е посочено коя страна е разположена отдолу - има 4 различни подредби на куба, съответстващи на завъртанията му около ос, минаваща през центровете на горната и долната страна, под ъгли 0, p/2, p, 3p/ 2. Така получаваме 6×4 = 24 завъртания на куба. Нека ги посочим изрично.

Кубът има център на симетрия (точката на пресичане на неговите диагонали), 3 оси от четвърти ред на симетрия, 4 оси от трети ред на симетрия и 6 оси от втори ред на симетрия. Достатъчно е да се разгледат въртенията около осите на симетрия.

а) Оси на симетрия от четвърти ред са оси, минаващи през центровете на противоположни лица. Около всяка от тези оси има три неидентични завъртания, а именно завъртания през ъгли p/2, p, 3p/2. Тези ротации съответстват на 9 пермутации на върховете на куба, при които върховете на противоположните страни се пренареждат циклично и по последователен начин. Например пермутации

реагират на въртене около ос

б) Осите от трети ред на симетрия са диагоналите на куба. Около всеки от четирите диагонала , , , има две нееднакви завъртания под ъгли 2р/3, 4р/3. Например ротациите около диагонала определят следните пермутации на върховете на куба:

Общо получаваме 8 такива завъртания.

в) Осите на симетрия от втори ред ще бъдат правите линии, свързващи средните точки на противоположните ръбове на куба. Има шест двойки противоположни ръбове (например , ), всяка двойка определя една ос на симетрия, т.е. получаваме 6 оси на симетрия от втори ред. Около всяка от тези оси има едно неидентично завъртане. Само 6 завъртания. Заедно с идентичната трансформация получаваме 9+8+6+1=24 различни завъртания. Всички завъртания на куба са посочени. Завъртанията на куб определят пермутации на наборите от неговите върхове, ръбове, лица и диагонали. Нека разгледаме как групата от ротации на куб действа върху множеството от неговите диагонали. Различните завъртания на куба пренареждат диагоналите на куба по различни начини, т.е. те съответстват на различни пермутации в набора от диагонали. Следователно групата от ротации на куба определя група от пермутации върху множеството от диагонали, състояща се от 24 пермутации. Тъй като кубът има само 4 диагонала, групата от всички такива пермутации съвпада със симетричната група на множеството от диагонали. И така, всяка пермутация на диагоналите на куба съответства на някаква негова ротация, а различните пермутации съответстват на различни ротации.

Нека сега опишем цялата група от симетрии на куба. Кубът има три равнини на симетрия, минаващи през неговия център. Симетриите относно тези равнини, комбинирани с всички завъртания на куба, ни дават още 24 трансформации, които са самонастройки на куба. Следователно пълната група от симетрии на куба се състои от 48 трансформации.

Група на симетрия на октаедъра. Октаедродин от пет правилни многостена. Може да се получи чрез свързване на центровете на лицата на куба и разглеждане на тяло, ограничено от равнини, които са дефинирани чрез свързване на прави линии за съседни лица (фиг. 3). Следователно всяка симетрия на куб е едновременно симетрия на октаедър и обратно. По този начин групата на симетрия на октаедъра е същата като групата на симетрия на куба и се състои от 48 трансформации.

Групата на симетрия на правилния многостен се състои от 2l трансформации, където l е броят на неговите равнинни ъгли. Това твърдение е валидно за всички правилни полиедри и може да бъде доказано в общ изглед, без да се намерят всички симетрии на полиедри.

Нека G е група, X е множество и f: G × X → X

– дисплей. Нека означим f(g, x) с gx. Ще кажем, че е дадено действие на G върху X (или G действа върху X), ако (gh)x = g(hx) и ex = x за всички g, h G, x X. В този случай множеството X се нарича G-набор.

Коментирайте. По-точно определено действие се нарича ляво. За правилното действие се разглежда преобразуването f: X × G → X, въвежда се обозначението f(x, g) = xg и се изискват следните условия: x(gh) = (xg)h и xe = x . Ясно е, че всичко казано по-долу за лявото действие е вярно (със съответните модификации) и за дясното. Освен това, имайте предвид, че формулата xg = g−1 x установява съответствие едно към едно между левите и десните действия на G върху X (т.е., грубо казано, левите и десните действия на групите са „едно и също нещо“). Правилните действия естествено ще възникнат в Глава 10.

Подмножество Y X се нарича G-подмножество, ако GY Y (т.е. gy Y за всички g G, y Y).

Подмножество на G-множество X във формата O(x) = (gx | g G) се нарича орбита на елемент x от X. Орбитите съвпадат с минимални G-подмножества в X. Отношението „да лежи в същата орбита” е релация на еквивалентност на X, така че орбитите образуват разделящо множество X.

За фиксирано x X елементи g G такива, че gx = x образуват подгрупа в G, която се нарича стабилна

lyzer (или стационарна подгрупа ) на елемента x и се означава със St(x).

Орбитите и стабилизаторите са свързани по следния начин:

Твърдение 7.1 |O(x)| = за всяко x X.

Пример. Нека X = G и G действа върху X чрез конюгиране, т.е. (g, x) 7→gxg−1. Орбитата при това действие се нарича

клас спрегнати елементи , и стабилизатор St(x) –централизатор елемент x (означение – C G(x)). Очевидно C G (x) = (a G | ax = xa). Освен това, ако групата G е крайна, тогава

където сумирането x преминава през набора от представители на класове спрегнати елементи (т.е. един елемент се взема от всеки клас).

С помощта на това действие може да се докаже

Теорема 7.2 (теорема на Коши)Ако редът на група G се дели на просто p, тогава съществува елемент от ред p в G.

7.1. Установете еквивалентността на следните две дефиниции на действието на група G върху множество X:

1) Действието на G върху X е преобразуване G×X → X, (g, x) 7→gx такова, че (g 1 g2 )x = g1 (g2 x) и ex = x за всички g1 , g2 G, x X.

2) Действието на G върху X е хомоморфизъм G → S(X) (където S(X)

– групата на всички биекции на X върху себе си).

7.2. Докажете, че ако O(x) = O(y), тогава St(x) е спрегнат на St(y). Вярно ли е обратното?

7.3. Опишете орбитите и стабилизаторите на следното:

1) Действие на G върху себе си чрез леви смени (т.е. (g, x) 7→gx);

2) Действие на G върху себе си чрез десни смени (т.е. (g, x) 7→xg−1 );

3) Действието на H върху G чрез леви (съответно десни) смени, където H< G;

x X St(x).

4) Действието на G чрез конюгации върху множеството от неговите подгрупи (т.е. (g, H) 7→gHg−1 );

5) Действие на G върху множеството от десни класове G/H, където H< G (т.е. (g, xH) 7→gxH);

6) Естествено действие на групата G = GL(V) от неизродени линейни оператори в линейно пространство V върху: a) V, b) V × V, c) множеството от всички линейни подпространства в V;

7) Естествено действие на групата G = O(V) от ортогонални линейни оператори в евклидовото пространство V върху: а) V, б)

8) G = hσi – циклична подгрупа в S n , X = (1, 2, . . . , n).

7.4.* Изоморфизъм на действия на група G върху множества X и Y е биекция f: X → Y такава, че f(gx) = gf(x) за всички g G, x X. Действието на G върху X е се нарича транзитивно, ако за всички x, y X съществува g G, така че y = gx (т.е. X

е единствената орбита на това действие). Докажете, че всяко транзитивно действие на G върху X е изоморфно на действие върху G/H за подходяща подгрупа H. Кога действията на G върху G/H1 и G/H2 са изоморфни?

7.5. Намерете групата автоморфизми на естественото действие на групата G върху множеството G/H.

7.6. Докажете, че редовете на класовете от спрегнати елементи на крайна група разделят нейния ред.

7 .7 .* Докажете, че центърът на крайна p-група е нетривиален.

7 .8 .* Докажете, че ако |G| = p2, тогава G е абелев (т.е. G е изоморфен на Z(p2) или Z(p) × Z(p)).

7 .9 .* Докажете, че ако G не е абелево и |G| = p3 , тогава |C(G)| = p.

7.10. Ядрото на действие на G върху X е ядрото на съответния хомоморфизъм G → S(X).

a) Проверете дали ядрото на действието на G върху X е равно на b) Намерете ядрото на действието на G върху G/H, където H< G.

7.11.* Нека H< G, причем = m < ∞. Докажите, что в G существует нормален делител N на крайния индекс, съдържащ се в H, и разделя m! и се дели на m.

Групи на симетрия на правилни многостени

Нека зададем O(3) := (A GL(3, R) | At A = E), SO(3) := O(3) ∩

SL(3, R). Нека M R3. Групата на ротация M е

Grot (M) = (gSO(3) | gM = M);

групата на симетрия M е

Gsym (M) = (g O(3) | gM = M)

(т.е. Grot (M) = Gsym (M) ∩ SO(3)).

7.12. Докажете, че O(3) SO(3) × Z(2).

7 .13 .* Намерете |Grot (M)| и |Gsym (M)| за всеки от правилните полиедри (тетраедър, куб, октаедър, додекаедър, икосаедър). Тук и по-долу се приема, че M е вградено в R3 така, че неговият център съвпада с началото.

7 .16 .* Нека M е куб или октаедър. Докажете, че Grot (M) S4 .

7 .17 .* Нека M е икосаедър или додекаедър. Докажи това

Грот (M) A5.

С натискане на бутона "Изтегли архив" ще изтеглите напълно безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, запомнете онези добри есета, тестове, курсови работи, тезиси, статии и други документи, които лежат непотърсени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да носи полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдем много благодарни.

За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрен номер в полето по-долу и щракнете върху бутона "Изтегляне на архив"

Подобни документи

Разработване на съвременна абстрактна концепция за групи. Най-простите свойства на крайните нилпотентни групи. Подгрупата на Фратини на крайна група е нилпотентна. Намиране на прякото произведение на нилпотентни групи. Двоична алгебрична операция върху множество.

курсова работа, добавена на 21.09.2013 г


Приложение на лемата на Бърнсайд за решаване на комбинаторни задачи. Орбити на пермутационната група. Дължина на орбитата на пермутационната група. Лемата на Бърнсайд. Комбинаторни задачи. "Метод на пресяване". Формула за включване и изключване.

дисертация, добавена на 14.06.2007 г


Разрешимост на факторизуема група с разложими множители. Свойства на крайни групи, които са произведение на две групи, едната от които е група на Шмид, а втората е 2-разложима. Произведение на бипримарни и 2-разложими групи. Доказателство на теореми и леми.

курсова работа, добавена на 22.09.2009 г


Същността на теорията на групите. Ролята на това понятие в математиката. Мултипликативна форма на операции за запис, примери за групи. Формулиране на същността на подгрупата. Хомоморфизми на групи. Пълни и специални линейни матрични групи. Класически групи с малки размери.

курсова работа, добавена на 03/06/2014


Повдигане на комплексно число на степен. Двоична алгебрична операция. Геометрична интерпретация комплексни числа. Базис, ранг и линейни комбинации за система от вектори. Множество корени на многочлен. Разлагане на многочлен на елементарни дроби.

тест, добавен на 25.03.2014 г


Първите споменавания на правилни полиедри. Класификация на полиедрите, техните видове, свойства, теореми за развитието на изпъкнали полиедри (Коши и Александров). Създаване на модели на правилни полиедри с помощта на разработки и оригами методи.

курсова работа, добавена на 18.01.2011 г


Концепцията за отражателна и ротационна аксиална симетрия в евклидовата геометрия и в естествените науки. Примери за аксиална симетрия са пеперуда, снежинка, Айфеловата кула, дворци и листа от коприва. Огледално отражение, радиална, аксиална и радиална симетрии.

презентация, добавена на 17.12.2013 г